(3,0 pontos) A função f(x)=ln (x+2) pode ser expandida em série de Taylor na forma
ln (x+2)=sumn=0^infty an(x-x0)^n
Escolha um possível valor para x0 e, então, calcule os coeficientes an.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função ln(x + 2) = sumn=0^infty an(x - x0)^n e precisamos expandi-la em uma série de Taylor na forma
Primeiro, vamos escolher um ponto para fazer a expansão. Depois, vamos calcular os coeficientes . Para isso, vamos precisar saber sobre séries de Taylor e como calcular derivadas da função.

Passo 2

Vamos escolher ln(x + 2) = sumn=0^infty anx^n porque é um valor simples e facilita os cálculos. Assim, a série de Taylor ficará centrada em 0:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os coeficientes an = f^(n)(x0)n! . A série de Taylor nos diz que:
onde é a n-ésima derivada da função avaliada em .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de f'(x) = 1x + 2 e avaliá-las em f'(0) = 10 + 2 = 12 .
Primeira derivada:
f''(x) = -1(x + 2)^2
Avaliada em 0:
f''(0) = -1(0 + 2)^2 = -14
Segunda derivada:
f'''(x) = 2(x + 2)^3
Avaliada em 0:
f'''(0) = 2(0 + 2)^3 = 28 = 14
Terceira derivada:
Avaliada em 0:
E assim por diante. Observamos um padrão nas derivadas.

Passo 5

Com as derivadas calculadas, vamos agora encontrar os coeficientes an = f^(n)(0)n! :
a0 = f(0) = ln(0 + 2) = ln 2
Usando os valores que encontramos:
Para a1 = f'(0)1! = 1/21 = 12 :
a2 = f''(0)2! = -1/42 = -18
Para a3 = f'''(0)3! = 1/46 = 124 :
Para :
Para :
E assim por diante, seguindo o padrão.

Resposta

Escolhendo a0 = ln 2, a1 = 12, a2 = -18, a3 = 124, etc , os coeficientes da série de Taylor para ln(x + 2) = ln 2 + 12x - 18x^2 + 124x^3 - cdots são:
A série fica então:

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