(3,0 pontos) A função
pode ser expandida em série de Taylor na forma
Escolha um possível valor para
e, então, calcule os coeficientes
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisamos expandi-la em uma série de Taylor na forma
Primeiro, vamos escolher um ponto
para fazer a expansão. Depois, vamos calcular os coeficientes
. Para isso, vamos precisar saber sobre séries de Taylor e como calcular derivadas da função.
Passo 2
Vamos escolher
porque é um valor simples e facilita os cálculos. Assim, a série de Taylor ficará centrada em 0:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os coeficientes
. A série de Taylor nos diz que:
onde
é a n-ésima derivada da função
avaliada em
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
.
Primeira derivada:
Avaliada em 0:
Segunda derivada:
Avaliada em 0:
Terceira derivada:
Avaliada em 0:
E assim por diante. Observamos um padrão nas derivadas.
Passo 5
Com as derivadas calculadas, vamos agora encontrar os coeficientes
:
Usando os valores que encontramos:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
E assim por diante, seguindo o padrão.
Resposta
Escolhendo
, os coeficientes da série de Taylor para
são:
A série fica então: