Considere as curvas definidas pelas parametrizações abaixo:
e
.
(a) Mostre que todas as três parametrizações descrevem o círculo com centro na origem e raio 1.
(a) Mostre que todas as três parametrizações descrevem o círculo com centro na origem e raio 1.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três curvas definidas por diferentes parametrizações e precisa mostrar que todas elas representam o círculo de raio 1 com o centro na origem. Vamos usar conceitos de geometria analítica e trigonometria para resolver isso. Para isso, precisamos entender como transformar essas parametrizações em equações cartesianas do círculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação de um círculo com centro na origem e raio 1 é dada por:
Então, o que precisamos fazer é verificar se, para cada uma das parametrizações dadas (
,
,
), ao substituir
e
, obtemos essa equação.
Passo 3
Vamos começar com a primeira parametrização
:
Substituindo
e
na equação do círculo:
Sabemos pela identidade trigonométrica que:
Então, para qualquer valor de
, a soma dos quadrados de
e
será 1, o que confirma que
está no círculo de raio 1.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parametrização
:
Substituindo
e
na equação do círculo:
Novamente, usamos a mesma identidade trigonométrica:
Independente do valor de
, a soma será sempre 1. Apesar de
variar até
, isso apenas faz com que a curva percorra o círculo duas vezes, mas o resultado final ainda é o círculo de raio 1.
Passo 5
Por fim, vamos analisar a terceira parametrização
:
Substituindo
e
:
Semelhante aos casos anteriores, usamos a identidade trigonométrica:
Aqui, o argumento da função trigonométrica é
, o que faz com que a curva percorra o círculo duas vezes enquanto
vai de
a
. Apesar disso, a equação ainda representa o círculo de raio 1.
Resposta
Todas as três parametrizações descrevem o círculo com centro na origem e raio 1, já que em cada caso,
.