Considere as curvas definidas pelas parametrizações abaixo:
C1:lx=sin t y=cos t, 0 <= t <= 2 pi ; C2:lx=cos t y=sin t, 0 <= t <= 4 pi e C3:lx=cos 2 t y=sin 2 t, 0 <= t <= 2 pi.
(a) Mostre que todas as três parametrizações descrevem o círculo com centro na origem e raio 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três curvas definidas por diferentes parametrizações e precisa mostrar que todas elas representam o círculo de raio 1 com o centro na origem. Vamos usar conceitos de geometria analítica e trigonometria para resolver isso. Para isso, precisamos entender como transformar essas parametrizações em equações cartesianas do círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação de um círculo com centro na origem e raio 1 é dada por:
x^2 + y^2 = 1
Então, o que precisamos fazer é verificar se, para cada uma das parametrizações dadas ( , , ), ao substituir e , obtemos essa equação.

Passo 3

Vamos começar com a primeira parametrização C1: l x = sin t y = cos t , 0 <= t <= 2pi :
(sin t)^2 + (cos t)^2 = sin^2 t + cos^2 t
Substituindo sin^2 t + cos^2 t = 1 e na equação do círculo:
Sabemos pela identidade trigonométrica que:
Então, para qualquer valor de , a soma dos quadrados de e será 1, o que confirma que está no círculo de raio 1.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parametrização C2: l x = cos t y = sin t , 0 <= t <= 4pi :
(cos t)^2 + (sin t)^2 = cos^2 t + sin^2 t
Substituindo cos^2 t + sin^2 t = 1 e na equação do círculo:
Novamente, usamos a mesma identidade trigonométrica:
Independente do valor de , a soma será sempre 1. Apesar de variar até , isso apenas faz com que a curva percorra o círculo duas vezes, mas o resultado final ainda é o círculo de raio 1.

Passo 5

Por fim, vamos analisar a terceira parametrização C3: l x = cos 2t y = sin 2t , 0 <= t <= 2pi :
(cos 2t)^2 + (sin 2t)^2 = cos^2 2t + sin^2 2t
Substituindo cos^2 2t + sin^2 2t = 1 e :
Semelhante aos casos anteriores, usamos a identidade trigonométrica:
Aqui, o argumento da função trigonométrica é , o que faz com que a curva percorra o círculo duas vezes enquanto vai de a . Apesar disso, a equação ainda representa o círculo de raio 1.

Resposta

Todas as três parametrizações descrevem o círculo com centro na origem e raio 1, já que em cada caso, .

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