Considere a equação de Euler:
Resolva a equação de Euler
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Euler juntos! A equação que temos é:
Onde
e
.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com equações diferenciais de Euler, que são um tipo especial de equação diferencial linear com coeficientes que são funções de
. Para resolver, vamos supor uma solução na forma de potência, ou seja,
, e encontrar o valor de
que satisfaz a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução da equação é da forma
. Isso significa que a derivada primeira
e a segunda
serão:
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
e
na equação original:
Simplificando cada termo:
Passo 4
Fatorando
da equação:
Como
para
, podemos igualar a expressão dentro dos colchetes a zero:
Passo 5
Vamos substituir os valores de
e
:
Expandindo os termos:
Passo 6
Combinando os termos semelhantes:
Passo 7
Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de
:
Onde
,
e
.
Passo 8
Calculando o discriminante (
):
Passo 9
Como
, temos duas raízes reais iguais:
Passo 10
Como a equação tem duas raízes iguais, a solução geral da equação de Euler é:
Substituindo
:
Resposta
A solução geral da equação de Euler dada é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.