Considere a equação de Euler:
x^2 y'' + alpha y' + beta y = 0
Resolva a equação de Euler com alpha = 1 + 2 * raiz(2) e beta = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Euler juntos! A equação que temos é:
Onde e .
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com equações diferenciais de Euler, que são um tipo especial de equação diferencial linear com coeficientes que são funções de . Para resolver, vamos supor uma solução na forma de potência, ou seja, , e encontrar o valor de que satisfaz a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução da equação é da forma . Isso significa que a derivada primeira e a segunda serão:

Passo 3

Agora, vamos substituir , e na equação original:
Simplificando cada termo:

Passo 4

Fatorando da equação:
Como para , podemos igualar a expressão dentro dos colchetes a zero:

Passo 5

Vamos substituir os valores de e :
Expandindo os termos:

Passo 6

Combinando os termos semelhantes:

Passo 7

Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de :
Onde , e .

Passo 8

Calculando o discriminante ( ):

Passo 9

Como , temos duas raízes reais iguais:

Passo 10

Como a equação tem duas raízes iguais, a solução geral da equação de Euler é:
Substituindo :

Resposta

A solução geral da equação de Euler dada é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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