Considere a equação de Euler:
x^2 y'' + alpha y' + beta y = 0
Resolva a equação de Euler com α = 1 e beta = -5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Euler juntos! A equação que você tem é:
Com os valores e . A matéria que estamos usando aqui é a de equações diferenciais, mais especificamente as equações de Euler, que são um tipo especial de equações diferenciais ordinárias. Para resolver, vamos precisar transformar a equação e encontrar suas raízes características.

Passo 2

Primeiro, substituímos os valores de e na equação:
Essa é a nossa equação de Euler específica para resolver.

Passo 3

Nas equações de Euler, fazemos uma substituição para facilitar a resolução. Assumimos que , onde é uma constante que vamos determinar. Com isso, calculamos as derivadas:

Passo 4

Substituindo , e na equação original, temos:
Simplificando cada termo:

Passo 5

Agora, para facilitar, dividimos toda a equação por :
Isso nos dá uma equação algébrica para resolver para .

Passo 6

Rearranjando os termos:
Para que essa equação seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero.

Passo 7

Igualando os coeficientes a zero:
  1. Para :
  1. Para o termo constante:

Passo 8

Resolvendo a primeira equação:
Usando a fórmula de Bhaskara:
A segunda equação também é uma solução, mas como a equação de Euler típica possui duas soluções, consideraremos apenas as raízes da equação quadrática.

Resposta

A solução geral da equação de Euler dada é:
onde e são constantes arbitrárias.

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