Considere a equação de Euler:
Resolva a equação de Euler
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Euler juntos! A equação que você tem é:
Com os valores
e
. A matéria que estamos usando aqui é a de equações diferenciais, mais especificamente as equações de Euler, que são um tipo especial de equações diferenciais ordinárias. Para resolver, vamos precisar transformar a equação e encontrar suas raízes características.
Passo 2
Primeiro, substituímos os valores de
e
na equação:
Essa é a nossa equação de Euler específica para resolver.
Passo 3
Nas equações de Euler, fazemos uma substituição para facilitar a resolução. Assumimos que
, onde
é uma constante que vamos determinar. Com isso, calculamos as derivadas:
Passo 4
Substituindo
,
e
na equação original, temos:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Agora, para facilitar, dividimos toda a equação por
:
Isso nos dá uma equação algébrica para resolver para
.
Passo 6
Rearranjando os termos:
Para que essa equação seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero.
Passo 7
Igualando os coeficientes a zero:
- Para
:
- Para o termo constante:
Passo 8
Resolvendo a primeira equação:
Usando a fórmula de Bhaskara:
A segunda equação
também é uma solução, mas como a equação de Euler típica possui duas soluções, consideraremos apenas as raízes da equação quadrática.
Resposta
A solução geral da equação de Euler dada é:
onde
e
são constantes arbitrárias.