Considere a equação de Euler:
x^2 y'' + alpha y' + beta y = 0
Resolva a equação de Euler com α = 1 e beta = 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Euler que é assim: . No nosso caso, e . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a solução para essa equação diferencial usando o método específico para equações de Euler.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para resolver uma equação de Euler, a gente tenta uma solução na forma , onde é um número que a gente vai determinar. Isso funciona porque as equações de Euler têm coeficientes que são potências de .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de . Se , então:

Passo 4

Vamos substituir , e na equação original:
Substituindo as derivadas:

Passo 5

Simplificando os termos:
Mas, para que isso valha para todo , os coeficientes de cada potência de precisam ser iguais a zero. Então, podemos dividir tudo por :

Passo 6

Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Isso nos dá duas equações:
e
Vamos resolver a segunda equação:

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os valores de são complexos.

Passo 8

Quando temos raízes complexas , a solução geral da equação de Euler é:
No nosso caso, e .

Resposta

A solução geral da equação é
onde e são constantes.

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