Considere a equação de Euler:
Resolva a equação de Euler
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Euler que é assim:
. No nosso caso,
e
. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a solução para essa equação diferencial usando o método específico para equações de Euler.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para resolver uma equação de Euler, a gente tenta uma solução na forma
, onde
é um número que a gente vai determinar. Isso funciona porque as equações de Euler têm coeficientes que são potências de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
. Se
, então:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação original:
Substituindo as derivadas:
Passo 5
Simplificando os termos:
Mas, para que isso valha para todo
, os coeficientes de cada potência de
precisam ser iguais a zero. Então, podemos dividir tudo por
:
Passo 6
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Isso nos dá duas equações:
e
Vamos resolver a segunda equação:
Passo 7
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os valores de
são complexos.
Passo 8
Quando temos raízes complexas
, a solução geral da equação de Euler é:
No nosso caso,
e
.
Resposta
A solução geral da equação é
onde
e
são constantes.