Considere as curvas dadas por . Determine o produto escalar e o produto vetorial .

Passo 1

Então, temos duas curvas no espaço tridimensional, e . Nosso objetivo é encontrar o produto escalar e o produto vetorial dessas duas curvas. Para isso, vamos precisar entender como calcular esses produtos utilizando as componentes dos vetores.

Passo 2

Vamos começar calculando o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores é uma operação que multiplica as componentes correspondentes dos vetores e depois soma esses produtos. A fórmula geral é:

Passo 3

Primeiro, identifiquemos as componentes de cada vetor:
Para :
Para :

Passo 4

Agora, substituímos essas componentes na fórmula do produto escalar:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:

Passo 6

Somando os termos simplificados:

Passo 7

Combinando os termos constantes:

Passo 8

Agora, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor perpendicular aos vetores originais e é calculado usando a regra do determinante:

Passo 9

Expandindo o determinante, temos:

Passo 10

Calculando cada componente:
  1. Componente :
  2. Componente :
  3. Componente :

Passo 11

Montando o vetor resultante:

Resposta

Produto Escalar:
Produto Vetorial:

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