1,0 Considere as curvas F, G: A -> R^3 dadas por F(t) = 2 i + (t + 1) j - t^2 k e G(t) = (t - 2) * i + (t + 2) / raiz(t - 1) * j + 1 / t^2 * k. Determine o produto escalar F(t) . G(t) e o produto vetorial F(t) ∧ G(t).

Passo 1

Então, temos duas curvas no espaço tridimensional, e . Nosso objetivo é encontrar o produto escalar F(t) . G(t) e o produto vetorial F(t) ∧ G(t) dessas duas curvas. Para isso, vamos precisar entender como calcular esses produtos utilizando as componentes dos vetores.

Passo 2

Vamos começar calculando o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores é uma operação que multiplica as componentes correspondentes dos vetores e depois soma esses produtos. A fórmula geral é:

Passo 3

Primeiro, identifiquemos as componentes de cada vetor:
Para :
Para :

Passo 4

Agora, substituímos essas componentes na fórmula do produto escalar:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:

Passo 6

Somando os termos simplificados:

Passo 7

Combinando os termos constantes:

Passo 8

Agora, vamos calcular o produto vetorial F(t) ∧ G(t). O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor perpendicular aos vetores originais e é calculado usando a regra do determinante:

Passo 9

Expandindo o determinante, temos:

Passo 10

Calculando cada componente:
  1. Componente i:
  2. Componente vec(j):
  3. Componente k:

Passo 11

Montando o vetor resultante:

Resposta

Produto Escalar:
Produto Vetorial:

Exercícios relacionados