Considere as curvas
dadas por
. Determine o produto escalar
e o produto vetorial
.
Passo 1
Então, temos duas curvas no espaço tridimensional,
e
. Nosso objetivo é encontrar o produto escalar
e o produto vetorial
dessas duas curvas. Para isso, vamos precisar entender como calcular esses produtos utilizando as componentes dos vetores.
Passo 2
Vamos começar calculando o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores é uma operação que multiplica as componentes correspondentes dos vetores e depois soma esses produtos. A fórmula geral é:
Passo 3
Primeiro, identifiquemos as componentes de cada vetor:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, substituímos essas componentes na fórmula do produto escalar:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo:
Passo 6
Somando os termos simplificados:
Passo 7
Combinando os termos constantes:
Passo 8
Agora, vamos calcular o produto vetorial
. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor perpendicular aos vetores originais e é calculado usando a regra do determinante:
Passo 9
Expandindo o determinante, temos:
Passo 10
Calculando cada componente:
-
Componente
: -
Componente
: -
Componente
:
Passo 11
Montando o vetor resultante:
Resposta
Produto Escalar:
Produto Vetorial: