Determine o conjunto domínio e faça um esboço deste conjunto para cada uma das funções dadas.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos determinar o conjunto domínio e fazer um esboço desse conjunto para a função .
O que é o conjunto domínio?
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis de entrada (neste caso, ) para os quais a função está definida.
O que precisamos para resolver isso?
Precisamos analisar cada componente da função e determinar para quais valores de cada uma delas está bem definida. Depois, encontraremos a interseção desses conjuntos para obter o domínio completo de .

Passo 2

Vamos começar analisando a primeira componente da função: .
Exponencial :
A função exponencial está definida para todo número real. Não há restrições aqui. Então, para , pode ser qualquer número real:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: .
Raiz quadrada :
A expressão dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero, porque não podemos tirar raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais.
Então, temos:
Resolvendo essa desigualdade:
Portanto, para , deve estar no intervalo .

Passo 4

Vamos analisar a terceira componente: .
Logaritmo natural :
O argumento do logaritmo natural deve ser maior que zero.
Então:
Como é sempre não negativo, será sempre maior que 5, que é positivo. Portanto, essa expressão está definida para todo real:

Passo 5

Agora, vamos juntar todas as restrições que encontramos para cada componente:
  1. :
  2. :
  3. :
O domínio da função é a interseção desses conjuntos, ou seja, os valores de que satisfazem todas as condições simultaneamente.
Então, o domínio é:

Resposta

O conjunto domínio da função é:
O esboço desse conjunto é um intervalo fechado no eixo dos números reais, indo de até .

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