Determine o conjunto domínio e faça um esboço deste conjunto para cada uma das funções dadas.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos determinar o conjunto domínio e fazer um esboço desse conjunto para a função
.
O que é o conjunto domínio?
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis de entrada (neste caso, ) para os quais a função está definida.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis de entrada (neste caso,
O que precisamos para resolver isso?
Precisamos analisar cada componente da função e determinar para quais valores de
cada uma delas está bem definida. Depois, encontraremos a interseção desses conjuntos para obter o domínio completo de
.
Precisamos analisar cada componente da função
Passo 2
Vamos começar analisando a primeira componente da função:
.
Exponencial
:
A função exponencial está definida para todo número real. Não há restrições aqui. Então, para ,
pode ser qualquer número real:
A função exponencial está definida para todo número real. Não há restrições aqui. Então, para
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente:
.
Raiz quadrada
:
A expressão dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero, porque não podemos tirar raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais.
A expressão dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero, porque não podemos tirar raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais.
Então, temos:
Resolvendo essa desigualdade:
Portanto, para
,
deve estar no intervalo
.
Passo 4
Vamos analisar a terceira componente:
.
Logaritmo natural
:
O argumento do logaritmo natural deve ser maior que zero.
O argumento do logaritmo natural deve ser maior que zero.
Então:
Como
é sempre não negativo,
será sempre maior que 5, que é positivo. Portanto, essa expressão está definida para todo
real:
Passo 5
Agora, vamos juntar todas as restrições que encontramos para cada componente:
-
: -
: -
:
O domínio da função
é a interseção desses conjuntos, ou seja, os valores de
que satisfazem todas as condições simultaneamente.
Então, o domínio é:
Resposta
O conjunto domínio da função
é:
O esboço desse conjunto é um intervalo fechado no eixo dos números reais, indo de
até
.
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