Considere duas variáveis aleatórias contínuas, X e Y . Se z=f(x, y) é uma densidade de probabilidade conjunta conhecida, então a probabilidade de X e Y assumirem os valores a< X e c é dado por:
P(a
Os valores esperados para X e Y é dado por:
mux=integral-infty^infty integral-infty^infty x f(x, y) d y d x е muy=integral-infty^infty integral-infty^infty y f(x, y) d y d x е
Sabendo que,
f(x, y)=ll 0,1 e^-(0,5 x+0,2 y), & se x, y >= 0 0, & caso contrário , á
Determine P(0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias contínuas, e . A gente precisa encontrar a probabilidade de estar entre 0 e 1 e também estar entre 0 e 1, usando a função de densidade conjunta que foi dada. Para isso, vamos precisar integrar essa função sobre os intervalos especificados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de densidade conjunta f(x, y) = 0,1 cdot e^-(0,5x + 0,2y), & se x, y >= 0 0, & caso contrário . Ela está definida como:
á
Isso significa que fora do primeiro quadrante (onde e são maiores ou iguais a zero), a densidade é zero. Dentro desse quadrante, a densidade decai exponencialmente com e .

Passo 3

Agora, para encontrar a probabilidade P(a < X < b ; c < Y < d) = integrala^b integralc^d f(x, y) , dy , dx , usamos a fórmula da probabilidade conjunta para variáveis contínuas:
P(0 < X < 1 ; 0 < Y < 1) = integral0^1 integral0^1 0,1 cdot e^-(0,5x + 0,2y) , dy , dx
No nosso caso, , , e . Então, a probabilidade que queremos é:

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a integral0^1 0,1 cdot e^-(0,5x + 0,2y) , dy . Primeiro, fixamos e^-(0,5x + 0,2y) = e^-0,5x cdot e^-0,2y e integramos:
0,1 cdot e^-0,5x integral0^1 e^-0,2y , dy
Para facilitar, podemos reescrever o expoente:
0,1 cdot e^-0,5x [ -10,2 e^-0,2y ]0^1 = 0,1 cdot e^-0,5x ( -5e^-0,2 + 5 )
Como 0,1 cdot e^-0,5x cdot 5(1 - e^-0,2) = 0,5 cdot e^-0,5x cdot (1 - e^-0,2) é constante em relação a , podemos tirá-lo da integral:
A integral de é , então:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos integrar isso em relação a integral0^1 0,5 cdot e^-0,5x cdot (1 - e^-0,2) , dx :
0,5 cdot (1 - e^-0,2) integral0^1 e^-0,5x , dx
Como 0,5 cdot (1 - e^-0,2) [ -10,5 e^-0,5x ]0^1 = 0,5 cdot (1 - e^-0,2) cdot (-2)(e^-0,5 - 1) e 0,5 cdot (1 - e^-0,2) cdot 2(1 - e^-0,5) = (1 - e^-0,2)(1 - e^-0,5) são constantes, podemos tirá-los da integral:
A integral de é , então:
Simplificando:

Resposta

A probabilidade P(0 < X < 1 ; 0 < Y < 1) = (1 - e^-0,2) (1 - e^-0,5) é:
1 - e^-0,2 approx 1 - 0,8187 = 0,1813
Calculando numericamente:
1 - e^-0,5 approx 1 - 0,6065 = 0,3935
P approx 0,1813 times 0,3935 approx 0,0714
Então, a probabilidade é aproximadamente 7,14%.

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P(a
Os valores esperados para X e Y é dado por:
mux=integral-infty^infty integral-infty^infty x f(x, y) d y d x е muy=integral-infty^infty integral-infty^infty y f(x, y) d y d x е
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