Considere duas variáveis aleatórias contínuas, X e Y . Se
é uma densidade de probabilidade conjunta conhecida, então a probabilidade de X e Y assumirem os valores
e
é dado por:
Os valores esperados para X e Y é dado por:
Sabendo que,
Determine
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias contínuas,
e
. A gente precisa encontrar a probabilidade de
estar entre 0 e 1 e
também estar entre 0 e 1, usando a função de densidade conjunta
que foi dada. Para isso, vamos precisar integrar essa função sobre os intervalos especificados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função de densidade conjunta
. Ela está definida como:
Isso significa que fora do primeiro quadrante (onde
e
são maiores ou iguais a zero), a densidade é zero. Dentro desse quadrante, a densidade decai exponencialmente com
e
.
Passo 3
Agora, para encontrar a probabilidade
, usamos a fórmula da probabilidade conjunta para variáveis contínuas:
No nosso caso,
,
,
e
. Então, a probabilidade que queremos é:
Passo 4
Vamos começar integrando em relação a
. Primeiro, fixamos
e integramos:
Para facilitar, podemos reescrever o expoente:
Como
é constante em relação a
, podemos tirá-lo da integral:
A integral de
é
, então:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos integrar isso em relação a
:
Como
e
são constantes, podemos tirá-los da integral:
A integral de
é
, então:
Simplificando:
Resposta
A probabilidade
é:
Calculando numericamente:
Então, a probabilidade é aproximadamente 7,14%.
Exercícios relacionados
Deve-se construir uma caixa retangular fechada de
de volume. Se o custo por metro quadrado do material para os lados, o fundo e a tampa é $200,00, $400,00 e $ 300,00, respectivamente, ache as dimensões que minimizam o custo.
Seja
.
© Determine a equação do plano tangente a superfície no ponto
.
© Determine a equação do plano tangente a superfície
Considere duas variáveis aleatórias contínuas, X e Y . Se
é uma densidade de probabilidade conjunta conhecida, então a probabilidade de X e Y assumirem os valores
e
é dado por:
Os valores esperados para X e Y é dado por:
Sabendo que,
Determine
;
Considere as curvas
e
k. Determine o domínio de
e exiba o maior conjunto em que
é contínua.