Considere duas variáveis aleatórias contínuas, X e Y . Se
é uma densidade de probabilidade conjunta conhecida, então a probabilidade de X e Y assumirem os valores
e
é dado por:
Os valores esperados para X e Y é dado por:
Sabendo que,
Determine
;
Passo 1
Beleza, vamos entender direitinho o que a questão está pedindo. Temos duas variáveis aleatórias contínuas,
e
, com uma densidade de probabilidade conjunta
definida da seguinte forma:
O que queremos encontrar é a probabilidade de
ser maior que 1, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral aplicados a funções de densidade de probabilidade conjuntas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade de
pode ser encontrada integrando a densidade conjunta
sobre todos os valores de
e
que satisfazem
. Isso significa que
varia de 0 até o infinito e
varia de 1 até o infinito.
Matematicamente, isso fica assim:
Passo 3
Agora, vamos substituir a função
na integral. Sabemos que
para
. Então a expressão fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
. Mantendo
constante, temos:
Podemos fatorar os termos que não dependem de
:
Passo 5
Agora, vamos integrar
em relação a
de 1 até infinito:
Simplificando:
Então:
Passo 6
Voltando à integral original, temos agora:
Agora, a integral em relação a
fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral
:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão para
:
Resposta
A probabilidade de
ser maior que 1 é
, aproximadamente igual a 0,8187.
Exercícios relacionados
Considere duas variáveis aleatórias contínuas, X e Y . Se
é uma densidade de probabilidade conjunta conhecida, então a probabilidade de X e Y assumirem os valores
e
é dado por:
Os valores esperados para X e Y é dado por:
Sabendo que,
Determine
;
Deve-se construir uma caixa retangular fechada de
de volume. Se o custo por metro quadrado do material para os lados, o fundo e a tampa é $200,00, $400,00 e $ 300,00, respectivamente, ache as dimensões que minimizam o custo.
Considere as curvas
e
k. Determine o domínio de
e exiba o maior conjunto em que
é contínua.
Encontre o limite
, se existir.