Considere as curvas r(t) = -2 e^(t^2) i - 3 j + ln(2t - 1) k e s(t) = raiz(3)i + t * e^t * j + t^3 k. Determine o domínio de r(t) e exiba o maior conjunto em que r é contínua.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o domínio da curva e identificar o maior conjunto onde é contínua.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o domínio de uma função vetorial e quando ela é contínua. O domínio é o conjunto de valores de para os quais a função está definida. A continuidade, por sua vez, significa que a função não tem “quebras” ou “saltos” nesse conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada componente de :
  1. Componente :
    • A função exponencial está definida para todo , então não há restrições aqui.
  2. Componente :
    • Essa é uma constante, sempre definida para qualquer .
  3. Componente :
    • A função logarítmica está definida apenas para . Portanto, .

Passo 3

Agora, vamos resolver a inequação :
Isso significa que para , a componente está definida.

Passo 4

Como as componentes e estão definidas para todo , a única restrição vem da componente . Então, o domínio de é:

Passo 5

Quanto à continuidade, vamos lembrar que funções como exponenciais e logaritmos são contínuas em seus respectivos domínios. Já que todas as componentes de são contínuas para , o maior conjunto onde é contínua é exatamente o seu domínio.

Resposta

O domínio de é pertencente a e esse é também o maior conjunto onde é contínua.

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