Considere as curvas
e
k. Determine o domínio de
e exiba o maior conjunto em que
é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o domínio da curva
e identificar o maior conjunto onde
é contínua.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o domínio de uma função vetorial e quando ela é contínua. O domínio é o conjunto de valores de
para os quais a função está definida. A continuidade, por sua vez, significa que a função não tem “quebras” ou “saltos” nesse conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada componente de
:
-
Componente
: - A função exponencial
está definida para todo , então não há restrições aqui.
- A função exponencial
-
Componente
: - Essa é uma constante, sempre definida para qualquer
.
- Essa é uma constante, sempre definida para qualquer
-
Componente
: - A função logarítmica
está definida apenas para . Portanto, .
- A função logarítmica
Passo 3
Agora, vamos resolver a inequação
:
Isso significa que para
, a componente
está definida.
Passo 4
Como as componentes
e
estão definidas para todo
, a única restrição vem da componente
. Então, o domínio de
é:
Passo 5
Quanto à continuidade, vamos lembrar que funções como exponenciais e logaritmos são contínuas em seus respectivos domínios. Já que todas as componentes de
são contínuas para
, o maior conjunto onde
é contínua é exatamente o seu domínio.
Resposta
O domínio de
é
pertencente a
e esse é também o maior conjunto onde
é contínua.
Exercícios relacionados
Verifique se a curva
é contínua no ponto
.
Integre a equação com os limites de contorno em que
e
para obter a seguinte equação:
Considere as curvas
e
k. Determine a curva
dada por
Considere a curva
. Determine:
;