Considere T: P2 R^3 dada por p(t) mapsto(p(1), p(0), p(1)).
(a) Mostre que T é uma transformação linear.
(b) T é sobrejetora? T é injetora? Calcule dim(ker(T)).
© Sendo alpha=1,1+t, 2+t^2 base de P2 e beta=(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1) base de R^3, calcule [T]beta^alpha. Determine [T(1+t+t^2)]beta de duas formas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é resolver as três partes do exercício envolvendo essa transformação. Para isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, injetividade, sobrejetividade e representação matricial em bases diferentes.

Passo 2

Parte (a): Mostrar que é uma transformação linear.
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar
Vamos verificar essas propriedades para .

Passo 3

Verificando a aditividade:
Sejam e dois polinômios em .
Por outro lado,
Portanto, , o que confirma a aditividade.

Passo 4

Verificando a homogeneidade:
Seja um escalar e um polinômio em .
Assim, , confirmando a homogeneidade.

Passo 5

Como satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que é uma transformação linear.

Passo 6

Parte (b): é sobrejetora? é injetora? Calcular .
Primeiro, vamos entender o que significam ser sobrejetora e injetora.
  • Sobrejetora: Toda saída em é atingida por pelo menos um polinômio em .
  • Injetora: Cada elemento de mapeia para um elemento distinto em .
Vamos analisar essas características para .

Passo 7

Analisando a sobrejetividade:
é o conjunto de polinômios de grau no máximo 2, então . também tem dimensão 3.
Para verificar se é sobrejetora, precisamos ver se a imagem de tem dimensão 3.
No entanto, observando a definição de , vemos que as primeira e terceira coordenadas são iguais. Isso significa que a imagem de está contida em um subespaço de onde a primeira e a terceira coordenadas são iguais.
Como esse subespaço tem dimensão 2 (pois há uma dependência linear), não cobre todo . Portanto, não é sobrejetora.

Passo 8

Analisando a injetividade:
Uma transformação linear é injetora se e somente se .
Vamos encontrar o núcleo de :
Isso significa que:
(redundante com a primeira condição)
Um polinômio . As condições:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
=>
Então, os polinômios no núcleo têm a forma , onde é um escalar.
Isso forma um subespaço de dimensão 1, pois há um único parâmetro .
Como não é trivial, não é injetora.

Passo 9

Calculando :
Já vimos que é formado por polinômios da forma , com .
Isso significa que o núcleo é gerado por um único vetor (base), então .

Passo 10

Parte ©: Calcular e determinar de duas formas.
Aqui, temos duas bases:
  • para
  • para
Queremos encontrar a matriz de de para , denotada por , e calcular a imagem de nessa base.

Passo 11

Encontrando a matriz a + b + c = 1 0a + b + c = 1 0a + 0b + c = 1 :
A matriz 0 0 1 é construída aplicando a + b + c = 2 0a + b + c =1 0a +0b + c =2 aos vetores da base 1 -1 2 e expressando os resultados na base a + b + c =3 0a + b + c =2 0a +0b + c =3 .
Vamos aplicar 1 -1 3 a cada vetor de [T]beta^alpha = 0 & 1 & 1 0 & -1 & -1 1 & 2 & 3 :
Agora, precisamos expressar cada um desses vetores na base .
Vamos resolver para cada:
Para :
Queremos encontrar coeficientes tais que:
Isso leva ao sistema:
Resolvendo, obtemos , , .
Logo,
Para :
Encontramos tal que:
Sistema:
Resolvendo, , , .
Então,
Para :
Encontramos tal que:
Sistema:
Resolvendo, , , .
Logo,
Assim, a matriz é formada por essas colunas:

Passo 12

Determinando a + b + 2c =1 b =1 c =1 de duas formas:
Primeira forma: Usando a matriz -2 1 1:
Primeiro, escrevemos [T(1+t+t^2)]beta = [T]beta^alpha cdot -2 1 1 = 0 &1 &10 &-1 &-11 &2 &3 cdot -2 1 1 = (0)(-2) + (1)(1) + (1)(1) (0)(-2) + (-1)(1) + (-1)(1) (1)(-2) + (2)(1) + (3)(1) = 2 -2 3 na base a + b + c =3 0a + b + c =1 0a +0b + c =3 .
Vamos encontrar coeficientes 2 -2 3 tais que:
Isso dá:
Resolvendo, , , .
Então, as coordenadas de na base são .
Multiplicando pela matriz :
Segunda forma: Aplicando diretamente:
Calculamos .
Para :
Então, .
Agora, expressamos na base :
Encontramos tais que:
Sistema:
Resolvendo, , , .
Então,

Resposta

A matriz 0 & 1 & 1 0 & -1 & -1 1 & 2 & 3 é
2 -2 3
E de ambas as formas.

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