Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é resolver as três partes do exercício envolvendo essa transformação. Para isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, injetividade, sobrejetividade e representação matricial em bases diferentes.
Passo 2
Parte (a): Mostrar que é uma transformação linear.
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades:
Aditividade:
Homogeneidade: para qualquer escalar
Vamos verificar essas propriedades para .
Passo 3
Verificando a aditividade:
Sejam e dois polinômios em .
Por outro lado,
Portanto, , o que confirma a aditividade.
Passo 4
Verificando a homogeneidade:
Seja um escalar e um polinômio em .
Assim, , confirmando a homogeneidade.
Passo 5
Como satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que é uma transformação linear.
Passo 6
Parte (b): é sobrejetora? é injetora? Calcular .
Primeiro, vamos entender o que significam ser sobrejetora e injetora.
Sobrejetora: Toda saída em é atingida por pelo menos um polinômio em .
Injetora: Cada elemento de mapeia para um elemento distinto em .
Vamos analisar essas características para .
Passo 7
Analisando a sobrejetividade:
é o conjunto de polinômios de grau no máximo 2, então . também tem dimensão 3.
Para verificar se é sobrejetora, precisamos ver se a imagem de tem dimensão 3.
No entanto, observando a definição de , vemos que as primeira e terceira coordenadas são iguais. Isso significa que a imagem de está contida em um subespaço de onde a primeira e a terceira coordenadas são iguais.
Como esse subespaço tem dimensão 2 (pois há uma dependência linear), não cobre todo . Portanto, não é sobrejetora.
Passo 8
Analisando a injetividade:
Uma transformação linear é injetora se e somente se .
Vamos encontrar o núcleo de :
Isso significa que:
(redundante com a primeira condição)
Um polinômio . As condições:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
=>
Então, os polinômios no núcleo têm a forma , onde é um escalar.
Isso forma um subespaço de dimensão 1, pois há um único parâmetro .
Como não é trivial, não é injetora.
Passo 9
Calculando :
Já vimos que é formado por polinômios da forma , com .
Isso significa que o núcleo é gerado por um único vetor (base), então .