Vamos analisar o exercício que você me enviou. A tarefa é estudar a posição relativa da reta e do plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a interação entre retas e planos no espaço tridimensional. Precisaremos identificar se a reta está contida no plano, se é paralela ou se intersecta o plano em um único ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a reta está definida. Ela é dada por um sistema de duas equações lineares:
Esse sistema representa a interseção entre duas superfícies planas, que forma a reta .
Passo 3
Para determinar a posição relativa em relação ao plano , que é dado pela equação:
Precisamos encontrar se todos os pontos da reta satisfazem essa equação, o que indicaria que a reta está contida no plano .
Passo 4
Vamos encontrar os pontos da reta resolvendo o sistema de equações. Para isso, podemos resolver o sistema de forma a expressar duas variáveis em função de uma terceira, por exemplo, .
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Simplificando:
Agora, substituindo na expressão para :
Portanto, os pontos da reta podem ser expressos parametrizando :
Passo 5
Com a parametrização da reta x + y + 4z = (t + 3) + (t + 1) + 4t = 6t + 4 , podemos substituir essas expressões na equação do plano 6t + 4 = 4 6t = 0 t = 0 para verificar se todos os pontos satisfazem a equação do plano.
Substituindo na equação de :
Queremos que isso seja igual a 4:
Passo 6
Encontramos que apenas para os pontos da reta satisfazem a equação do plano . Isso significa que a reta intersecta o plano em exatamente um ponto.
Resposta
A reta e o plano se intersectam em um único ponto, que é .