Estude a posição relativa de r e pi: r:l2 x-y-z=5 x-3 y+2 z=0 pi: x+y+4 z=4

Passo 1

Vamos analisar o exercício que você me enviou. A tarefa é estudar a posição relativa da reta e do plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a interação entre retas e planos no espaço tridimensional. Precisaremos identificar se a reta está contida no plano, se é paralela ou se intersecta o plano em um único ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a reta 2x - y - z = 5 x - 3y + 2z = 0 está definida. Ela é dada por um sistema de duas equações lineares:
Esse sistema representa a interseção entre duas superfícies planas, que forma a reta .

Passo 3

Para determinar a posição relativa em relação ao plano x + y + 4z = 4 , que é dado pela equação:
Precisamos encontrar se todos os pontos da reta satisfazem essa equação, o que indicaria que a reta está contida no plano .

Passo 4

Vamos encontrar os pontos da reta x - 6x + 3z + 15 + 2z = 0 -5x + 5z + 15 = 0 -5x = -5z -15 x = z + 3 resolvendo o sistema de equações. Para isso, podemos resolver o sistema de forma a expressar duas variáveis em função de uma terceira, por exemplo, y = 2(z + 3) - z -5 = 2z + 6 - z -5 = z + 1 .
Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação: x = t + 3 y = t + 1 z = t
  2. Substituindo na segunda equação:
    Simplificando:
  3. Agora, substituindo na expressão para :
Portanto, os pontos da reta podem ser expressos parametrizando :

Passo 5

Com a parametrização da reta x + y + 4z = (t + 3) + (t + 1) + 4t = 6t + 4 , podemos substituir essas expressões na equação do plano 6t + 4 = 4 6t = 0 t = 0 para verificar se todos os pontos satisfazem a equação do plano.
Substituindo na equação de :
Queremos que isso seja igual a 4:

Passo 6

Encontramos que apenas para os pontos da reta satisfazem a equação do plano . Isso significa que a reta intersecta o plano em exatamente um ponto.

Resposta

A reta e o plano se intersectam em um único ponto, que é .

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