Considere os dados do enunciado do problema 65 do livro-texto (problema anterior).
Aplique as regras de Kirchhoff a duas malhas do circuito e calcule:
a carga do capacitor em função do tempo;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente aplicar as regras de Kirchhoff em duas malhas de um circuito e calcular a carga do capacitor em função do tempo. A matéria que estamos lidando aqui é Análise de Circuitos Elétricos, especificamente usando as Leis de Kirchhoff. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Lei das Malhas de Kirchhoff e montar as equações diferenciais que descrevem o comportamento do circuito.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei das Malhas de Kirchhoff (LMK). Essa lei diz que a soma algébrica das diferenças de potencial (voltagens) em qualquer malha fechada de um circuito é igual a zero. Ou seja:
sum V = 0
Isso significa que, se você percorrer uma malha e somar todas as quedas e subidas de tensão, o total vai dar zero.

Passo 3

Agora, vamos identificar as duas malhas no nosso circuito. Suponhamos que temos:
  • Malha 1: Contém uma resistência , um indutor e uma fonte de tensão .
  • Malha 2: Contém uma resistência , um capacitor e a mesma fonte de tensão .
Vamos aplicar a LMK em cada uma dessas malhas.

Passo 4

Aplicando a LMK na Malha 1:
Percorrendo a malha 1 no sentido horário, temos:
  • Queda de tensão na resistência V - VR1 - VL = 0 V - R1 I1 - L dI1dt = 0 :
  • Queda de tensão no indutor :
  • Subida de tensão na fonte :
Aplicando a LMK:

Passo 5

Aplicando a LMK na Malha 2:
Percorrendo a malha 2 no sentido horário, temos:
  • Queda de tensão na resistência V - VR2 - VC = 0 V - R2 I2 - qC = 0 :
  • Queda de tensão no capacitor : (onde é a carga no capacitor)
  • Subida de tensão na fonte :
Aplicando a LMK:

Passo 6

Agora, precisamos relacionar as correntes I2 = dqdt e V - R2 dqdt - qC = 0 com a carga no capacitor. Sabemos que a corrente que carrega o capacitor é:
Substituindo isso na equação da malha 2:

Passo 7

Temos agora uma equação diferencial que relaciona a carga R2 dqdt + qC = V com o tempo :
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que podemos resolver para encontrar .

Passo 8

Para resolver a equação:
R2 dqdt + qC = V
Podemos rearranjar os termos:
dqdt + qR2 C = VR2
Essa é uma equação diferencial linear que tem a solução geral:
q(t) = qhomogênea + qparticular ê
Onde:
  • Solucionando a parte homogênea:
dqdt + qR2 C = 0 qh(t) = K e^-tR2 C
  • Encontrando a solução particular:
Assumimos que 0 + qpR2 C = VR2 qp = V C é constante (já que a derivada dela será zero):

Passo 9

Combinando as soluções, temos:
q(t) = K e^-tR2 C + V C
Para encontrar a constante 0 = K e^0 + V C K = -V C , usamos a condição inicial. Supondo que no instante , a carga no capacitor é zero ( ):

Passo 10

Substituindo q(t) = -V C e^-tR2 C + V C q(t) = V C (1 - e^-tR2 C) de volta na solução geral:

Resposta

A carga do capacitor em função do tempo é:
q(t) = V C (1 - e^-tR2 C)

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