Considere f: R -> R definida por f(x) = x^3 + 3 x^2 - 20 x - 1. Mostre que f tem três raízes distintas, sendo duas negativas e uma positiva. Encontre um intervalo com uma unidade de comprimento que contém a raiz positiva de f.

Passo 1

No exercício, temos a função cúbica . Precisamos mostrar que essa função tem três raízes distintas, sendo duas delas negativas e uma positiva. Além disso, devemos encontrar um intervalo de comprimento 1 que contenha a raiz positiva. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise de funções polinomiais e o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função quando tende ao infinito positivo e negativo. Sabemos que para polinômios de grau ímpar com coeficiente líder positivo:
Isso indica que a função cruza o eixo pelo menos uma vez.

Passo 3

Para determinar o número de raízes, vamos calcular a primeira derivada de :
Vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Obtivemos duas soluções reais distintas, o que confirma que a função possui dois pontos de máximo e mínimo locais, indicando três raízes distintas.

Passo 4

Agora, vamos identificar onde estão as raízes positivas e negativas. Vamos calcular em alguns valores:
Observamos que e . Como a função muda de negativa para positiva entre e , pelo Teorema do Valor Intermediário, existe uma raiz positiva nesse intervalo.

Resposta

A raiz positiva de está no intervalo , que tem comprimento unitário.

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