Considere
definida por
. Mostre que
tem três raízes distintas, sendo duas negativas e uma positiva. Encontre um intervalo com uma unidade de comprimento que contém a raiz positiva de
.
Passo 1
No exercício, temos a função cúbica
. Precisamos mostrar que essa função tem três raízes distintas, sendo duas delas negativas e uma positiva. Além disso, devemos encontrar um intervalo de comprimento 1 que contenha a raiz positiva. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise de funções polinomiais e o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função
quando
tende ao infinito positivo e negativo. Sabemos que para polinômios de grau ímpar com coeficiente líder positivo:
Isso indica que a função cruza o eixo
pelo menos uma vez.
Passo 3
Para determinar o número de raízes, vamos calcular a primeira derivada de
:
Vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Obtivemos duas soluções reais distintas, o que confirma que a função possui dois pontos de máximo e mínimo locais, indicando três raízes distintas.
Passo 4
Agora, vamos identificar onde estão as raízes positivas e negativas. Vamos calcular
em alguns valores:
Observamos que
e
. Como a função muda de negativa para positiva entre
e
, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe uma raiz positiva nesse intervalo.
Resposta
A raiz positiva de
está no intervalo
, que tem comprimento unitário.
Exercícios relacionados
Resolva a equação diferencial
. Esta equação tem alguma solução constante?
Considere a função
definida por
, cujo gráfico é esboçado na primeira ilustração da Figura 2. Determine a área da região indicada.
Mostre que
, para todo
.
Sugestão: considere a função .
Sugestão: considere a função
Considere a região
. Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
.