Mostre que
, para todo
.
Sugestão: considere a função
.
Sugestão: considere a função
Passo 1
Vamos resolver a inequação
para todo
. Estamos trabalhando com funções exponenciais e inequações. Para isso, vamos considerar a função
e mostrar que ela é sempre maior ou igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. O objetivo é provar que
para todo
.
Passo 3
Para entender o comportamento de
, vamos calcular a sua derivada. A derivada nos ajuda a identificar onde a função está aumentando ou diminuindo.
Passo 4
Agora, vamos analisar a derivada
:
- Quando
, ou seja, , a função está aumentando. - Quando
, ou seja, , a função tem um ponto crítico. - Quando
, ou seja, , a função está diminuindo.
Passo 5
Vamos calcular o valor de
no ponto crítico
:
Passo 6
A partir da análise da derivada e do valor em
:
- Para
, está aumentando e já sabemos que , então . - Para
, está diminuindo, mas vamos verificar o comportamento quando tende a . Note que tende a 0 e tende a , mas decresce mais rapidamente, mantendo .
Resposta
Portanto, mostramos que
para todo
.
Exercícios relacionados
Considere
definida por
. Mostre que
tem três raízes distintas, sendo duas negativas e uma positiva. Encontre um intervalo com uma unidade de comprimento que contém a raiz positiva de
.
Resolva a equação diferencial
. Esta equação tem alguma solução constante?
Considere a região
. Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
.