Mostre que e^x >= x + 1, para todo x em R.
Sugestão: considere a função f(x) = e^x - x - 1.

Passo 1

Vamos resolver a inequação para todo . Estamos trabalhando com funções exponenciais e inequações. Para isso, vamos considerar a função e mostrar que ela é sempre maior ou igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . O objetivo é provar que para todo .

Passo 3

Para entender o comportamento de , vamos calcular a sua derivada. A derivada nos ajuda a identificar onde a função está aumentando ou diminuindo.

Passo 4

Agora, vamos analisar a derivada :
  • Quando , ou seja, , a função está aumentando.
  • Quando , ou seja, , a função tem um ponto crítico.
  • Quando , ou seja, , a função está diminuindo.

Passo 5

Vamos calcular o valor de no ponto crítico :

Passo 6

A partir da análise da derivada e do valor em :
  • Para , está aumentando e já sabemos que , então .
  • Para , está diminuindo, mas vamos verificar o comportamento quando tende a . Note que tende a 0 e tende a , mas decresce mais rapidamente, mantendo .

Resposta

Portanto, mostramos que para todo .

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