Resolva a equação diferencial x' = 2 t (x - 2) / (t^2 + 3). Esta equação tem alguma solução constante?

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem, e vamos precisar usar o método de separação de variáveis pra encontrar a solução. Além disso, vamos verificar se existe alguma solução constante para essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e . A equação original é:
Podemos reescrever como :
Agora, vamos separar as variáveis agrupando os termos que envolvem de um lado e os que envolvem do outro:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a e do lado direito em relação a :
A integral do lado esquerdo fica:
Agora, vamos resolver a integral do lado direito. Observe que o numerador é a derivada do denominador , então podemos usar a substituição , :

Passo 4

Agora, juntando tudo, temos:
Para simplificar, podemos eliminar os logaritmos exponenciando ambos os lados:
onde é uma constante arbitrária.

Passo 5

Resolvendo para , temos:
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 6

Agora, vamos verificar se existe alguma solução constante. Uma solução constante significa que não depende de , ou seja, . Vamos chamar essa constante de .
Substituindo na equação original:
Para que isso seja verdade para todo , o numerador deve ser zero:
Isso só é possível se , ou seja, .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante real. Além disso, a equação possui a solução constante .

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