Resolva a equação diferencial
. Esta equação tem alguma solução constante?
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem, e vamos precisar usar o método de separação de variáveis pra encontrar a solução. Além disso, vamos verificar se existe alguma solução constante para essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. A equação original é:
Podemos reescrever
como
:
Agora, vamos separar as variáveis agrupando os termos que envolvem
de um lado e os que envolvem
do outro:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a
e do lado direito em relação a
:
A integral do lado esquerdo fica:
Agora, vamos resolver a integral do lado direito. Observe que o numerador
é a derivada do denominador
, então podemos usar a substituição
,
:
Passo 4
Agora, juntando tudo, temos:
Para simplificar, podemos eliminar os logaritmos exponenciando ambos os lados:
onde
é uma constante arbitrária.
Passo 5
Resolvendo para
, temos:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 6
Agora, vamos verificar se existe alguma solução constante. Uma solução constante significa que
não depende de
, ou seja,
. Vamos chamar essa constante de
.
Substituindo
na equação original:
Para que isso seja verdade para todo
, o numerador deve ser zero:
Isso só é possível se
, ou seja,
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante real. Além disso, a equação possui a solução constante
.
Exercícios relacionados
Considere a função
definida por
, cujo gráfico é esboçado na primeira ilustração da Figura 2. Determine a área da região indicada.
Calcule a derivada da função:
.
Considere
definida por
. Mostre que
tem três raízes distintas, sendo duas negativas e uma positiva. Encontre um intervalo com uma unidade de comprimento que contém a raiz positiva de
.
Mostre que
, para todo
.
Sugestão: considere a função .
Sugestão: considere a função