Considere a função f: R -> R definida por f(x) = sen x, cujo gráfico é esboçado na primeira ilustração da Figura 2. Determine a área da região indicada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente determinar a área de uma região indicada no gráfico da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de áreas sob curvas, mais especificamente usando integrais, que é um conceito da matemática que nos ajuda a calcular áreas de forma precisa.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender entre quais pontos vamos calcular essa área. Como o gráfico de é uma onda que se repete a cada unidades, vamos considerar o intervalo de a para facilitar, já que esse é um dos intervalos mais comuns para esse tipo de cálculo.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que para calcular a área sob uma curva entre dois pontos e , usamos a integral definida da função nesse intervalo. A fórmula geral é:
Á

Passo 4

Aplicando isso à nossa função , e aos limites de a , a integral fica:
Á

Passo 5

Vamos calcular essa integral. A antiderivada de é , então:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar nesse caso de integral definida.

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração:
Á

Passo 7

Sabemos que e , então substituindo:
Á

Resposta

A área da região indicada é unidades quadradas.

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