Considere a função
definida por
, cujo gráfico é esboçado na primeira ilustração da Figura 2. Determine a área da região indicada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente determinar a área de uma região indicada no gráfico da função
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de áreas sob curvas, mais especificamente usando integrais, que é um conceito da matemática que nos ajuda a calcular áreas de forma precisa.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender entre quais pontos vamos calcular essa área. Como o gráfico de
é uma onda que se repete a cada
unidades, vamos considerar o intervalo de
a
para facilitar, já que esse é um dos intervalos mais comuns para esse tipo de cálculo.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que para calcular a área sob uma curva entre dois pontos
e
, usamos a integral definida da função nesse intervalo. A fórmula geral é:
Passo 4
Aplicando isso à nossa função
, e aos limites de
a
, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular essa integral. A antiderivada de
é
, então:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar nesse caso de integral definida.
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração:
Passo 7
Sabemos que
e
, então substituindo:
Resposta
A área da região indicada é
unidades quadradas.