Considere a região . Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma região e queremos descobrir o volume do sólido que forma quando a gente gira essa região ao redor do eixo . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente o método das cascas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa girar essa região ao redor do eixo . Imagine que você tem um gráfico no plano . A região está entre e , e a altura de cada ponto nessa região é dada por . Quando giramos isso em torno do eixo , cada “fatia” vertical vira uma casca cilíndrica.
Passo 3
O método das cascas cilíndricas nos ajuda a calcular o volume somando o volume de cada uma dessas cascas. A fórmula geral para o volume usando esse método é:
onde é a distância da casca ao eixo de rotação (no caso, o eixo ) e é a altura da casca.
Passo 4
Aqui, e porque varia de 1 a 2. A altura da casca é igual a . Substituindo esses valores na fórmula, temos: