Considere a região A = {(x, y) em R^2 | 1 <= x <= 2, 0 <= y <= 1/x}. Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região A em torno do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma região e queremos descobrir o volume do sólido que forma quando a gente gira essa região ao redor do eixo . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente o método das cascas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa girar essa região ao redor do eixo . Imagine que você tem um gráfico no plano . A região está entre e , e a altura de cada ponto nessa região é dada por . Quando giramos isso em torno do eixo , cada “fatia” vertical vira uma casca cilíndrica.

Passo 3

O método das cascas cilíndricas nos ajuda a calcular o volume somando o volume de cada uma dessas cascas. A fórmula geral para o volume usando esse método é:
onde é a distância da casca ao eixo de rotação (no caso, o eixo ) e é a altura da casca.

Passo 4

Aqui, e porque varia de 1 a 2. A altura da casca é igual a . Substituindo esses valores na fórmula, temos:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
Substituindo de volta na fórmula do volume:

Resposta

O volume do sólido obtido é unidades cúbicas.

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