Considere o desenvolvimento . Qual a soma dos coeficientes de todos os termos?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar a soma dos coeficientes do desenvolvimento de . O conteúdo que vamos usar aqui é o da Teoria do Binômio Multinomial, que nos ajuda a expandir expressões com mais de dois termos elevados a uma potência. Para resolver, vamos precisar entender como os coeficientes funcionam nessa expansão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a soma dos coeficientes de uma expressão algébrica, podemos substituir todas as variáveis por 1. Isso porque, ao substituir cada variável por 1, cada termo da expressão se torna apenas o coeficiente, e somando todos eles, teremos exatamente a soma dos coeficientes.
Passo 3
Aplicando essa ideia ao nosso caso, vamos substituir , , e por 1 na expressão . Assim, teremos:
Passo 4
Agora, somando os números dentro dos parênteses:
Passo 5
Por fim, calculamos . Fazendo as contas:
Resposta
A soma dos coeficientes de todos os termos do desenvolvimento é 262144.