Considere o desenvolvimento . Qual a soma dos coeficientes de todos os termos?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar a soma dos coeficientes do desenvolvimento de . O conteúdo que vamos usar aqui é o da Teoria do Binômio Multinomial, que nos ajuda a expandir expressões com mais de dois termos elevados a uma potência. Para resolver, vamos precisar entender como os coeficientes funcionam nessa expansão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a soma dos coeficientes de uma expressão algébrica, podemos substituir todas as variáveis por 1. Isso porque, ao substituir cada variável por 1, cada termo da expressão se torna apenas o coeficiente, e somando todos eles, teremos exatamente a soma dos coeficientes.

Passo 3

Aplicando essa ideia ao nosso caso, vamos substituir , , e por 1 na expressão . Assim, teremos:

Passo 4

Agora, somando os números dentro dos parênteses:

Passo 5

Por fim, calculamos . Fazendo as contas:

Resposta

A soma dos coeficientes de todos os termos do desenvolvimento é 262144.

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