Considere o desenvolvimento (a+b+c+d)^9. Qual o coeficiente do termo a^3 b^2 c^3 d ?

Passo 1

Então, a gente tem o desenvolvimento de e precisa encontrar o coeficiente do termo . Vamos usar a teoria dos coeficientes multinomiais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um coeficiente multinomial. Quando expandimos uma expressão como , cada termo na expansão corresponde a uma combinação dos fatores , , e multiplicados entre si, com expoentes que somam 9. O coeficiente desse termo específico é dado pela fórmula:
onde é o expoente total (neste caso, 9) e são os expoentes de , , e , respectivamente.

Passo 3

Para o nosso termo , identificamos que:
  • (expoente de )
  • (expoente de )
  • (expoente de )
  • (expoente de )

Passo 4

Agora, vamos calcular o fatorial de cada um desses valores:

Passo 5

Aplicando os valores na fórmula do coeficiente multinomial:

Resposta

O coeficiente do termo é 5040.

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