Considere o desenvolvimento
. Qtos termos há se expoentes sobre
e
forem pelo menos 3?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que expandir a expressão
e descobrir quantos termos dessa expansão têm os expoentes de
e
pelo menos iguais a 3. Para resolver isso, vamos precisar usar combinações e teoria combinatória.
Passo 2
Quando expandimos
, cada termo da expansão é uma combinação dos literais
,
,
e
com expoentes que somam 9. Por exemplo, um termo poderia ser
, onde
.
Passo 3
Queremos contar apenas os termos onde os expoentes de
e
são pelo menos 3. Isso significa que
,
, …,
e, simultaneamente,
,
, …,
.
Passo 4
Para facilitar a contagem, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
-
, onde -
, onde
Assim, a soma dos expoentes fica:
Como queremos que
e
, podemos fazer:
Agora, temos:
onde
,
,
e
.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o número de soluções inteiras não negativas para a equação:
Isso é um problema clássico de combinação com repetição, onde queremos distribuir 3 itens em 4 categorias.
Passo 6
A fórmula para combinar com repetição é:
onde
é o número de itens e
é o número de categorias. No nosso caso,
e
:
Passo 7
Calculando a combinação:
Resposta
Há 20 termos na expansão de
onde os expoentes de
e
são pelo menos 3.