Considere o desenvolvimento (a+b+c+d)^9. Qtos termos há se expoentes sobre a e b forem pelo menos 3?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que expandir a expressão e descobrir quantos termos dessa expansão têm os expoentes de a e b pelo menos iguais a 3. Para resolver isso, vamos precisar usar combinações e teoria combinatória.

Passo 2

Quando expandimos , cada termo da expansão é uma combinação dos literais a, b, c e d com expoentes que somam 9. Por exemplo, um termo poderia ser , onde .

Passo 3

Queremos contar apenas os termos onde os expoentes de a e b são pelo menos 3. Isso significa que , , …, e, simultaneamente, , , …, .

Passo 4

Para facilitar a contagem, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
  • , onde
  • , onde
Assim, a soma dos expoentes fica:
Como queremos que e , podemos fazer:
Agora, temos:
onde , , z ≥ 0 e .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o número de soluções inteiras não negativas para a equação:
Isso é um problema clássico de combinação com repetição, onde queremos distribuir 3 itens em 4 categorias.

Passo 6

A fórmula para combinar com repetição é:
onde n é o número de itens e k é o número de categorias. No nosso caso, e :

Passo 7

Calculando a combinação:

Resposta

20 termos na expansão de onde os expoentes de a e b são pelo menos 3.

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