Considere o desenvolvimento (a+b+c+d)^7. Qual a soma dos coeficientes de todos os termos?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a soma dos coeficientes de todos os termos no desenvolvimento de . Isso está relacionado ao estudo de binômios e coeficientes multinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “soma dos coeficientes”. Quando expandimos , cada termo resultante terá um coeficiente numérico. A soma desses coeficientes é como se a gente quisesse somar todos esses números sem se importar com as variáveis , , e .

Passo 3

Para encontrar essa soma de uma maneira mais fácil, existe um truque legal: substituir todas as variáveis por 1. Ou seja, vamos calcular o valor da expressão quando , , e .

Passo 4

Substituindo as variáveis por 1, a expressão fica:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, é só calcular :

Resposta

A soma dos coeficientes de todos os termos é 16.384.

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