Quantos termos (parcelas) tem o desenvolvimento (a+b+c)^6 ?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta quantos termos existem no desenvolvimento de . Isso está relacionado ao conteúdo de combinatória, especificamente ao uso de coeficientes multinomiais. Para resolver, vamos precisar entender como contar as combinações possíveis de expoentes das variáveis , e que somam 6.

Passo 2

Primeiro, precisamos reconhecer que cada termo no desenvolvimento de tem a forma , onde , e são números inteiros não negativos que somam 6, ou seja:

Passo 3

Para encontrar o número de soluções inteiras não negativas dessa equação, podemos usar o princípio das estrelas e barras da combinatória. Esse método nos ajuda a contar o número de maneiras de distribuir indistinguíveis estrelas (representando unidades) em caixas distintas (representando as variáveis , e ).

Passo 4

Aplicando o princípio das estrelas e barras, o número de soluções é dado por:
onde é o total a ser distribuído (neste caso, 6) e é o número de caixas (neste caso, 3).

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
Calculando o valor de :

Resposta

Existem 28 termos no desenvolvimento de .

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