Numa modalidade de pôquer as doze figuras (reis, damas e valetes de espadas, paus, copas e ouros) são distribuídas em quatro mãos com três cartas cada uma. Qual a probabilidade de haver um rei em cada mão?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de probabilidade juntos! O enunciado fala sobre distribuir doze figuras de pôquer (reis, damas e valetes de quatro naipes diferentes) em quatro mãos, cada uma com três cartas. A pergunta é: qual a probabilidade de cada uma dessas mãos ter exatamente um rei? Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinações e probabilidade combinatória.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o número total de maneiras de distribuir as doze cartas em quatro mãos, cada uma com três cartas. Isso é um problema de combinação onde a ordem não importa.
A fórmula para calcular o número total de distribuições é:
Aqui,
representa as permutações das 12 cartas, e
corrige o fato de que a ordem das cartas em cada mão não importa.
Passo 3
Agora, vamos calcular o número de distribuições favoráveis, ou seja, aquelas em que cada mão tem exatamente um rei.
Sabemos que existem 4 reis nas doze cartas.
- Distribuindo os reis: Primeiro, precisamos atribuir um rei para cada uma das quatro mãos. O número de maneiras de fazer isso é:
- Distribuindo as demais cartas: Após distribuir os reis, restam 8 cartas (damas e valetes). Precisamos distribuir essas 8 cartas nas quatro mãos, com cada mão recebendo mais 2 cartas. O número de maneiras de fazer isso é:
Portanto, o número total de distribuições favoráveis é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada mão receber exatamente um rei. A probabilidade é dada pela razão entre o número de distribuições favoráveis e o número total de distribuições:
Vamos simplificar essa expressão:
Calculando os valores fatoriais:
Substituindo:
Calculando o numerador:
Agora, dividindo pelo denominador:
Resposta
A probabilidade de cada mão receber exatamente um rei é aproximadamente 16,33%.