Considere o desenvolvimento (a+b+c+d)^7. Quantos termos há?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar quantos termos existem no desenvolvimento de . Esse problema está relacionado ao conteúdo de Algebra, mais especificamente ao teorema do Binômio de Newton generalizado para mais de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o número de termos em uma expressão multinomial.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o número de termos no desenvolvimento de uma expressão como é equivalente ao número de soluções não negativas da equação:
onde cada representa a potência de cada variável a, b, c e d respectivamente.

Passo 3

Para encontrar o número de soluções dessa equação, usamos o Princípio das Combinações com Repetição. A fórmula para calcular isso é:
onde n é o expoente (neste caso, 7) e k é o número de variáveis (neste caso, 4).

Passo 4

Aplicando os valores na fórmula, temos:
Agora, calculamos o valor de , que é o número de combinações de 10 itens tomados 3 a 3.

Passo 5

Calculando a combinação:

Resposta

120 termos no desenvolvimento de .

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