Sabendo-se que A, B, C e D são eventos independentes em um espaço de probabilidade e que P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = 1/3, determine P(A U B U C U D) utilizando uma das leis de De Morgan.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre quatro eventos independentes e em um espaço de probabilidade. Cada um desses eventos tem uma probabilidade de . A gente precisa descobrir qual é a probabilidade de pelo menos um desses eventos acontecer, ou seja, , usando uma das leis de De Morgan.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a união de eventos. representa a probabilidade de A ou B ou C ou D acontecer. Uma maneira facilitada de calcular isso é usando a fórmula complementar. Ou seja, em vez de calcular diretamente a probabilidade de pelo menos um acontecer, vamos calcular a probabilidade de nenhum deles acontecer e subtrair de 1.

Passo 3

Aqui entra a Lei de De Morgan, que nos diz que a união de eventos é o complemento da interseção dos complementos desses eventos. Matematicamente, isso fica assim:
Onde é o complemento do evento A, ou seja, a probabilidade de A não acontecer.

Passo 4

Como os eventos são independentes, a probabilidade da interseção dos complementos é o produto das probabilidades de cada complemento. Sabemos que , então . O mesmo vale para B, C e D.

Passo 5

Calculando a probabilidade da interseção dos complementos:

Passo 6

Agora, voltamos à fórmula da Lei de De Morgan para encontrar a união:

Resposta

A probabilidade de pelo menos um dos eventos ou ocorrer é .

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