De quantas maneiras diferentes podemos distribuir seis bolas indistinguíveis em três caixas A, B e C admitindo que algumas caixas fiquem vazias?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta é sobre como distribuir seis bolas que são todas iguais em três caixas diferentes: A, B e C. O conteúdo que vamos usar aqui é da combinatória, especificamente a técnica conhecida como “estrela e barra”. Para resolver isso, vamos precisar entender como distribuir objetos idênticos em recipientes distintos, permitindo que algumas caixas fiquem vazias.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar que cada bola é representada por uma estrela (*). Como temos seis bolas, teremos seis estrelas: ******.
Passo 3
Agora, precisamos dividir essas estrelas em três grupos, correspondentes às três caixas. Para isso, usamos duas barras (|) para criar as divisões. Por exemplo:
||
Isso significa que a caixa A tem 2 bolas, a caixa B tem 3 bolas e a caixa C tem 1 bola.
||
Isso significa que a caixa A tem 2 bolas, a caixa B tem 3 bolas e a caixa C tem 1 bola.
Passo 4
A questão é descobrir de quantas formas diferentes podemos colocar essas barras entre as estrelas. No total, temos 6 estrelas e 2 barras, somando 8 posições.
Passo 5
A fórmula para calcular isso é a combinação de
itens escolhendo
, onde
é o número de bolas e
é o número de caixas. Então, fica:
Passo 6
Calculando a combinação:
Resposta
Existem 28 maneiras diferentes de distribuir as seis bolas nas três caixas.