De quantas maneiras diferentes podemos distribuir seis bolas indistinguíveis em três caixas A, B e C admitindo que algumas caixas fiquem vazias?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é sobre como distribuir seis bolas que são todas iguais em três caixas diferentes: A, B e C. O conteúdo que vamos usar aqui é da combinatória, especificamente a técnica conhecida como “estrela e barra”. Para resolver isso, vamos precisar entender como distribuir objetos idênticos em recipientes distintos, permitindo que algumas caixas fiquem vazias.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar que cada bola é representada por uma estrela (*). Como temos seis bolas, teremos seis estrelas: ******.

Passo 3

Agora, precisamos dividir essas estrelas em três grupos, correspondentes às três caixas. Para isso, usamos duas barras (|) para criar as divisões. Por exemplo:
||
Isso significa que a caixa A tem 2 bolas, a caixa B tem 3 bolas e a caixa C tem 1 bola.

Passo 4

A questão é descobrir de quantas formas diferentes podemos colocar essas barras entre as estrelas. No total, temos 6 estrelas e 2 barras, somando 8 posições.

Passo 5

A fórmula para calcular isso é a combinação de itens escolhendo , onde é o número de bolas e é o número de caixas. Então, fica:

Passo 6

Calculando a combinação:

Resposta

Existem 28 maneiras diferentes de distribuir as seis bolas nas três caixas.

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