Considere o desenvolvimento (a+b+c+d)^9. Quantos termos há sem expoentes nulos?

Passo 1

Vamos resumir a questão: Queremos descobrir quantos termos existem no desenvolvimento de onde nenhum dos expoentes das letras é zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinações e o princípio de contagem.

Passo 2

Para encontrar o número de termos sem expoentes nulos, precisamos determinar de quantas maneiras podemos distribuir o expoente total entre as quatro variáveis , , , e , garantindo que cada uma receba pelo menos .

Passo 3

Isso é equivalente a resolver a equação:
onde , , , e são números inteiros positivos (ou seja, ).

Passo 4

Para resolver essa equação, usamos o método de combinação com repetição, também conhecido como “stars and bars”. A fórmula para calcular o número de soluções é:
onde é o total a ser distribuído (neste caso, ) e é o número de variáveis (neste caso, ).

Passo 5

Aplicando a fórmula:
Calculando :

Resposta

Existem 56 termos no desenvolvimento de sem expoentes nulos.

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