Considere o desenvolvimento
. Quantos termos há sem expoentes nulos?
Passo 1
Vamos resumir a questão: Queremos descobrir quantos termos existem no desenvolvimento de
onde nenhum dos expoentes das letras é zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinações e o princípio de contagem.
Passo 2
Para encontrar o número de termos sem expoentes nulos, precisamos determinar de quantas maneiras podemos distribuir o expoente total
entre as quatro variáveis
,
,
, e
, garantindo que cada uma receba pelo menos
.
Passo 3
Isso é equivalente a resolver a equação:
onde
,
,
, e
são números inteiros positivos (ou seja,
).
Passo 4
Para resolver essa equação, usamos o método de combinação com repetição, também conhecido como “stars and bars”. A fórmula para calcular o número de soluções é:
onde
é o total a ser distribuído (neste caso,
) e
é o número de variáveis (neste caso,
).
Passo 5
Aplicando a fórmula:
Calculando
:
Resposta
Existem 56 termos no desenvolvimento de
sem expoentes nulos.