Sabendo-se que
e
são eventos independentes em um espaço de probabilidade e que
, determine
utilizando a fórmula de inclusão-exclusão.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo! Temos quatro eventos independentes
e
, cada um com probabilidade
de acontecer. A gente precisa encontrar a probabilidade de pelo menos um desses eventos ocorrer, ou seja,
, usando a fórmula de inclusão-exclusão. Vamos precisar lembrar como funciona essa fórmula e como aplicar em eventos independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula de inclusão-exclusão para a união de quatro eventos. Ela é assim:
Essa fórmula leva em conta todas as combinações possíveis de interseções entre os eventos para evitar contar múltiplas vezes.
Passo 3
Como os eventos são independentes, a probabilidade da interseção de alguns eventos é o produto das probabilidades individuais deles. Por exemplo,
,
, e assim por diante.
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores na fórmula. Sabemos que
. Vamos calcular cada termo:
- Soma das probabilidades individuais:
- Subtração das probabilidades das interseções de dois eventos:
- Adição das probabilidades das interseções de três eventos:
- Subtração da probabilidade da interseção dos quatro eventos:
Passo 5
Agora, vamos somar todos esses termos:
Para somar, vamos colocar tudo com denominador 81:
Resposta
A probabilidade de pelo menos um dos eventos
ou
ocorrer é
.