Sabendo-se que A, B, C e D são eventos independentes em um espaço de probabilidade e que P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = 1/3, determine P(A U B U C U D) utilizando a fórmula de inclusão-exclusão.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo! Temos quatro eventos independentes e , cada um com probabilidade de acontecer. A gente precisa encontrar a probabilidade de pelo menos um desses eventos ocorrer, ou seja, , usando a fórmula de inclusão-exclusão. Vamos precisar lembrar como funciona essa fórmula e como aplicar em eventos independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de inclusão-exclusão para a união de quatro eventos. Ela é assim:
Essa fórmula leva em conta todas as combinações possíveis de interseções entre os eventos para evitar contar múltiplas vezes.

Passo 3

Como os eventos são independentes, a probabilidade da interseção de alguns eventos é o produto das probabilidades individuais deles. Por exemplo, , , e assim por diante.

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores na fórmula. Sabemos que . Vamos calcular cada termo:
  1. Soma das probabilidades individuais:
  1. Subtração das probabilidades das interseções de dois eventos:
  1. Adição das probabilidades das interseções de três eventos:
  1. Subtração da probabilidade da interseção dos quatro eventos:

Passo 5

Agora, vamos somar todos esses termos:
Para somar, vamos colocar tudo com denominador 81:

Resposta

A probabilidade de pelo menos um dos eventos ou ocorrer é .

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