Considere uma determinada função f que atende a condição f(x 1) = f(x) f(1), para qualquer valor da variável x. Logo, sabe-se que f(2) = 1, portanto determine o valor de f(5)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma função $ f $ que satisfaz a condição $ f(x + 1) = f(x) \cdot f(1) $ para qualquer valor de $ x $. Sabemos também que $ f(2) = 1 $. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ f(5) $. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre funções recursivas e propriedades de funções multiplicativas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor de $ f(1) $. Sabemos que:
f(1)
Como $ f(2) = 1 $, temos:
f(2) = f(1 + 1) = f(1) cdot f(1) = [f(1)]^2

Passo 3

Resolvendo a equação acima, obtemos duas possibilidades para $ f(1) $:
f(1)

Passo 4

Vamos analisar cada caso:
  1. Se $ f(1) = 1 $:
    f(1) = 1
    f(2) = [1]^2 = 1
    f(3) = f(2) cdot f(1) = 1 cdot 1 = 1
    f(4) = f(3) cdot f(1) = 1 cdot 1 = 1
  2. Se $ f(1) = -1 $:
    f(5) = f(4) cdot f(1) = 1 cdot 1 = 1
    f(1) = -1
    f(2) = [(-1)]^2 = 1
    f(3) = f(2) cdot f(1) = 1 cdot (-1) = -1

Passo 5

Entretanto, como a função $ f $ precisa ser consistente para qualquer $ x $ e já sabemos que $ f(2) = 1 $ independente do valor de $ f(1) $, a solução mais simples e consistente é assumir que $ f(1) = 1 $.

Resposta

Portanto, o valor de $ f(5) $ é igual a 1.

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