Considere a diferencial ordinária abaixo e apresente solução para os casos em que
e
. (Valor: 1,0 ponto).
Passo 1
Beleza, vamos atacar esse exercício juntos! Aqui, temos uma equação diferencial que envolve a taxa de variação de
em relação ao tempo
. O conteúdo principal é Equações Diferenciais Ordinárias, e para resolver a gente vai precisar saber como separar as variáveis e integrar. Vamos resolver para os casos onde
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação geral:
Isso significa que a taxa de mudança de
depende de
elevado a alguma potência
, multiplicado por uma constante
.
Passo 3
Vamos resolver para
:
Quando , a equação fica:
Quando
Isso simplifica para uma equação diferencial linear simples.
Passo 4
Integramos ambos os lados com
:
Aqui,
é a constante de integração, representando o valor inicial de
quando
.
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
Quando , a equação fica:
Quando
Essa é uma equação diferencial separável.
Passo 6
Separamos as variáveis e integramos:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvemos para
:
Aqui,
é outra constante que podemos determinar com uma condição inicial.
Resposta
Para
:
Para
:
Exercícios relacionados
Usando a definição de limite prove que:
m)
m)
Considere a função
.
(a) Mostre que é derivável em
e calcule
.
(a) Mostre que
(a) Seja
uma função diferenciável em
. Escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
)?
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
a)
a)