Considere a diferencial ordinária abaixo e apresente solução para os casos em que e . (Valor: 1,0 ponto).

Passo 1

Beleza, vamos atacar esse exercício juntos! Aqui, temos uma equação diferencial que envolve a taxa de variação de em relação ao tempo . O conteúdo principal é Equações Diferenciais Ordinárias, e para resolver a gente vai precisar saber como separar as variáveis e integrar. Vamos resolver para os casos onde e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação geral:
Isso significa que a taxa de mudança de depende de elevado a alguma potência , multiplicado por uma constante .

Passo 3

Vamos resolver para :
Quando , a equação fica:
Isso simplifica para uma equação diferencial linear simples.

Passo 4

Integramos ambos os lados com :
Aqui, é a constante de integração, representando o valor inicial de quando .

Passo 5

Agora, vamos resolver para :
Quando , a equação fica:
Essa é uma equação diferencial separável.

Passo 6

Separamos as variáveis e integramos:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Resolvemos para :
Aqui, é outra constante que podemos determinar com uma condição inicial.

Resposta

Para :
Para :

Exercícios relacionados

Usando a definição de limite prove que:
m)
Considere a função .
(a) Mostre que é derivável em e calcule .
(a) Seja uma função diferenciável em . Escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto )?
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
a)