(a) Seja uma função diferenciável em . Escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto )?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que é diferenciável em . Isso significa que a função tem uma derivada naquele ponto, ou seja, existe uma tangente ao gráfico da função no ponto . Nosso objetivo é encontrar a equação dessa reta tangente.

Passo 2

Para encontrar a equação da reta tangente, precisamos saber dois elementos: um ponto que a reta passa e o seu coeficiente angular (a inclinação). Já sabemos o ponto: é .

Passo 3

O coeficiente angular da reta tangente é dado pela derivada da função no ponto , que é . A derivada nos dá a inclinação da reta que melhor aproxima a função naquele ponto.

Passo 4

Com o ponto e o coeficiente angular , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
onde é o ponto e é o coeficiente angular.

Passo 5

Substituindo os valores que temos na fórmula:
Essa é a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto .

Resposta

A equação da reta tangente é:

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Considere a diferencial ordinária abaixo e apresente solução para os casos em que e . (Valor: 1,0 ponto).
Usando a definição de limite prove que:
m)
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
a)
(d) Use a aproximação linear da função em para estimar o valor de .