(a) Seja f uma função diferenciável em x = a. Escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) no ponto (a, f(a)) )?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função f que é diferenciável em . Isso significa que a função tem uma derivada naquele ponto, ou seja, existe uma tangente ao gráfico da função no ponto (a, f(a)). Nosso objetivo é encontrar a equação dessa reta tangente.

Passo 2

Para encontrar a equação da reta tangente, precisamos saber dois elementos: um ponto que a reta passa e o seu coeficiente angular (a inclinação). Já sabemos o ponto: é (a, f(a)).

Passo 3

O coeficiente angular da reta tangente é dado pela derivada da função no ponto a, que é . A derivada nos dá a inclinação da reta que melhor aproxima a função naquele ponto.

Passo 4

Com o ponto (a, f(a)) e o coeficiente angular , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
onde é o ponto e m é o coeficiente angular.

Passo 5

Substituindo os valores que temos na fórmula:
Essa é a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto (a, f(a)).

Resposta

A equação da reta tangente é:

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