Usando a definição de limite prove que:
m) lim x 4 4 x^2-4 x-32 x+1=5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício que pede para provar, usando a definição de limite, que quando se aproxima de 4, a expressão se aproxima de 5. Vamos usar o conteúdo de definição de limite, que é a base para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a definição de limite. Dizemos que:
limx to a f(x) = L
significa que para todo (um pequeno valor positivo que queremos que a diferença seja menor que ele), existe um tal que sempre que , então . Em outras palavras, podemos fazer ficar tão próximo de quanto quisermos, escolhendo suficientemente perto de .

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, queremos provar que:
limx to 4 4x^2 - 4x - 32x + 1 = 5
Então, nossa função é e , .

Passo 4

Vamos começar calculando a diferença | 4x^2 - 4x - 32x + 1 - 5 | :
| 4x^2 - 4x - 3 - 5(2x + 1)2x + 1 |
Para simplificar isso, primeiro vamos combinar as frações:
| 4x^2 - 4x - 3 - 10x - 52x + 1 | = | 4x^2 - 14x - 82x + 1 |
Distribuindo o 5:

Passo 5

Agora, vamos tentar fatorar o numerador 4x^2 - 16x + 2x - 8 = 4x(x - 4) + 2(x - 4) = (4x + 2)(x - 4) . Procuramos dois números que multiplicados dão | (4x + 2)(x - 4)2x + 1 | e que somados dão -14. Esses números são -16 e +2.
Então, reescrevemos o numerador:
Então, nossa expressão fica:

Passo 6

Simplificamos mais a expressão:
| (4x + 2)(x - 4)2x + 1 | = |x - 4| cdot | 4x + 22x + 1 |
Queremos que isso seja menor que |x - 4| cdot | 4x + 22x + 1 | < varepsilon :

Passo 7

Agora, precisamos encontrar um limite para 2x + 1 >= 2(3) + 1 = 7 quando 4x + 2 <= 4(5) + 2 = 22 está próximo de 4. Vamos supor que | 4x + 22x + 1 | <= 227 está dentro de uma distância de 1 de 4, ou seja, . Isso significa que está entre 3 e 5.
Dentro desse intervalo:
e
Portanto,

Passo 8

Agora, voltamos à nossa desigualdade:
|x - 4| cdot 227 < varepsilon
Para garantir que isso seja verdade, podemos escolher |x - 4| < 722 varepsilon de modo que:

Passo 9

Portanto, para qualquer de, se escolhemos:
então sempre que , teremos .

Resposta

Assim, provamos que:
limx to 4 4x^2 - 4x - 32x + 1 = 5

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