Usando a definição de limite prove que:
m)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício que pede para provar, usando a definição de limite, que quando se aproxima de 4, a expressão se aproxima de 5. Vamos usar o conteúdo de definição de limite, que é a base para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a definição de limite. Dizemos que:
significa que para todo (um pequeno valor positivo que queremos que a diferença seja menor que ele), existe um tal que sempre que , então . Em outras palavras, podemos fazer ficar tão próximo de quanto quisermos, escolhendo suficientemente perto de .

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, queremos provar que:
Então, nossa função é e , .

Passo 4

Vamos começar calculando a diferença :
Para simplificar isso, primeiro vamos combinar as frações:
Distribuindo o 5:

Passo 5

Agora, vamos tentar fatorar o numerador . Procuramos dois números que multiplicados dão e que somados dão -14. Esses números são -16 e +2.
Então, reescrevemos o numerador:
Então, nossa expressão fica:

Passo 6

Simplificamos mais a expressão:
Queremos que isso seja menor que :

Passo 7

Agora, precisamos encontrar um limite para quando está próximo de 4. Vamos supor que está dentro de uma distância de 1 de 4, ou seja, . Isso significa que está entre 3 e 5.
Dentro desse intervalo:
e
Portanto,

Passo 8

Agora, voltamos à nossa desigualdade:
Para garantir que isso seja verdade, podemos escolher de modo que:

Passo 9

Portanto, para qualquer , se escolhemos:
então sempre que , teremos .

Resposta

Assim, provamos que:

Exercícios relacionados

Considere a função .
(a) Mostre que é derivável em e calcule .
Usando a definição de limite prove que:
h)
Considere a diferencial ordinária abaixo e apresente solução para os casos em que e . (Valor: 1,0 ponto).
(a) Seja uma função diferenciável em . Escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto )?