Considere dióxido de carbono confinado num cilindro com pistão de massa igual a 595 kg e diâmetro igual a 31 cm .
Sobre o pistão, atua uma mola com constante elástica igual a 510 N / cm. A atmosfera sobre o pistão e ao redor da mola tem pressão constante e igual a 144 kPa .
Assuma que a aceleração da gravidade é 9.81 m / s^2.
Sabe-se que a mola está em sua posição de equilíbrio quando o volume ocupado pelo dióxido de carbono é 46 L .
(a) (0.5 t r ) Qual a pressão em kPa exercida no dióxido de carbono, apenas pelo pistão?
(b) (0.5 p t ) Qual a força, em N e em módulo, necessária para comprimir a mola em 29 cm a partir da posição de equilíbrio?
© (0.5 pt) Quando o volume ocupado pelo dióxido de carbono é 52.44 L , qual a pressão, em kPa, exercida no dióxido de carbono, apenas pela mola?
(d) (0.5 pt) Quando o volume ocupado pelo dióxido de carbono é 37.72 L , qual a pressão do dióxido de carbono, em kPa?
(e) (0.7 pt) Qual a massa, em g, de dióxido de carbono dentro do cilindro quando ele se encontra na pressão e volume conforme item
(d), e sua temperatura é 60^circ C ?
Assuma que o dióxido de carbono se comporta como gás ideal nessa situação.
(f) (1.3 pt) Qual o módulo do trabalho, em J, recebido pelo dióxido de carbono ao passar de 52.44 L para 37.72 L .
  • Exercícios resolvidos sobre o trabalho em Termodinâmica
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um cilindro contendo dióxido de carbono (CO₂) com um pistão que tem uma massa de 595 kg e diâmetro de 31 cm. Além disso, há uma mola sobre o pistão com constante elástica de 510 , N/cm e uma pressão atmosférica constante de 144 kPa. A aceleração da gravidade é 9,81 , m/s²², e a mola está em equilíbrio quando o volume do CO₂ é 46 litros. Vamos precisar de conceitos de estática (equilíbrio de forças), leis dos gases ideais e trabalho em termodinâmica para resolver as questões de (a) a (f).

Passo 2

Parte (a): Qual a pressão em kPa exercida no dióxido de carbono, apenas pelo pistão?
Primeiro, vamos entender que a pressão exercida pelo pistão é devido ao peso do pistão. A pressão é força por unidade de área.
  1. Calcular a força exercida pelo pistão:
    F = m times g = 595 , kg times 9,81 , m/s² = 5839,95 , N ²
  2. Calcular a área do pistão:
    O diâmetro é 31 cm, então o raio r é 15,5 cm ou 0,155 m.
    A = pi r² = pi (0,155 , m)² approx 0,0754 , m² ²²²
  3. Calcular a pressão exercida pelo pistão:
    P = FA = 5839,95 , N0,0754 , m² approx 77457 , Pa = 77,457 , kPa ²

Passo 3

Parte (b): Qual a força, em N e em módulo, necessária para comprimir a mola em 29 cm a partir da posição de equilíbrio?
Aqui, vamos usar a Lei de Hooke, que relaciona a força exercida por uma mola com a sua deformação:
F = k times De
onde k é a constante elástica e De é a deformação.
  1. Converter a constante elástica para unidades compatíveis:
    k = 510 , N/cm = 510 times 100 , N/m = 51000 , N/m
  2. Converter a deformação para metros:
    De
  3. Calcular a força necessária:
    F = 51000 , N/m times 0,29 , m = 14790 , N

Passo 4

Parte ©: Quando o volume ocupado pelo dióxido de carbono é 52,44 L, qual a pressão, em kPa, exercida no dióxido de carbono, apenas pela mola?
Quando o volume aumenta, a mola se estica, exercendo uma pressão adicional. Vamos calcular a força da mola e depois a pressão.
  1. Calcular a deformação da mola:
    Sabemos que no equilíbrio a mola está comprimida para 46 L. Passar para 52,44 L é um aumento de volume, mas precisamos relacionar isso com a compressão da mola. Vamos supor que o aumento de volume está relacionado à diminuição da compressão da mola.
    Entretanto, sem mais informações sobre a relação entre volume e compressão, vamos assumir que a diferença de volume está diretamente relacionada à mudança na força da mola.
    Para simplificar, suponha que a deformação da mola é proporcional à variação de volume.
  2. Calcular a força exercida pela mola:
    Como estamos considerando apenas a pressão pela mola, usamos a constante elástica.
    F = k times De
    Onde De corresponde à mudança na deformação devido ao aumento de volume.
    No entanto, como o problema não fornece uma relação direta entre volume e compressão da mola, precisamos de mais dados ou assumir uma relação linear específica. Para simplificar, vamos considerar que a força da mola permanece a mesma, mas isso pode não ser totalmente preciso.
    Dado o contexto, uma abordagem correta seria retornar ao equilíbrio inicial e considerar que a pressão pela mola compensa a pressão atmosférica mais a pressão do pistão.
    Portanto, a pressão pela mola pode ser considerada como constante em equilíbrio. Assim:
    Pmola = Ptotal - Patmosfera
    Pmola = 77,457 , kPa + 144 , kPa = 221,457 , kPa
    Contudo, considerando a mudança de volume, essa pressão pode mudar. Devido à falta de clareza, mantemos a pressão da mola como 77,457 kPa.

Passo 5

Parte (d): Quando o volume ocupado pelo dióxido de carbono é 37,72 L, qual a pressão do dióxido de carbono, em kPa?
Aqui, precisamos aplicar a lei dos gases ideais PV = nRT, mas como o número de mols n e a temperatura T podem variar, é mais fácil usar a relação P1V1 = P2V2 se a temperatura for constante.
  1. Assumir temperatura constante:
    Como não foi mencionada variação de temperatura, vamos assumir que ela permanece constante.
  2. Usar a relação de Boyle:
    P1 V1 = P2 V2
    Onde P1 = 221,457 , kPa, V1 = 52,44 , L, V2 = 37,72 , L.
  3. Calcular P2:
    P2 = P1 V1V2 = 221,457 times 52,4437,72 approx 307,6 , kPa

Passo 6

Parte (e): Qual a massa, em g, de dióxido de carbono dentro do cilindro quando ele se encontra na pressão e volume conforme item (d), e sua temperatura é 60^circC?
Vamos usar a equação dos gases ideais:
PV = nRT
Onde:
  • P = 307,6 , kPa
  • V = 37,72 , L = 0,03772 , m³³
  • T = 60 + 273,15 = 333,15 , K
  • R = 8,314 , J/(mol·K)
  • MCO2 = 44,01 , g/mol
  1. Calcular o número de mols n:
    n = PVRT = 307600 , Pa times 0,03772 , m³8,314 , J/(mol·K) times 333,15 , K approx 4,23 , mols ³
  2. Calcular a massa:
    m = n times M = 4,23 , mols times 44,01 , g/mol approx 186,3 , g

Passo 7

Parte (f): Qual o módulo do trabalho, em J, recebido pelo dióxido de carbono ao passar de 52,44 L para 37,72 L?
O trabalho realizado pelo gás durante uma expansão ou compressão a pressão variável pode ser calculado pela integral:
W = integralVi^Vf P , dV
Assumindo temperatura constante (processo isotérmico), usamos a equação de trabalho para gás ideal:
W = nRT ln(VfVi)
Onde:
  • Vi = 52,44 , L
  • Vf = 37,72 , L
  • n foi calculado anteriormente como 4,23 mol
  • T = 333,15 , K
  • R = 8,314 , J/(mol·K)
  1. Calcular o trabalho:
    W = 4,23 times 8,314 times 333,15 times ln(37,7252,44)
    W approx 4,23 times 8,314 times 333,15 times ln(0,72) approx 4,23 times 8,314 times 333,15 times (-0,325) approx -3634 , J
  2. Módulo do trabalho:
    |W| = 3634 , J

Resposta

A massa de dióxido de carbono dentro do cilindro é de aproximadamente 186,3 g, e o módulo do trabalho recebido pelo dióxido de carbono ao passar de 52,44 L para 37,72 L é de 3634 J.

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