Considere o dipolo elétrico com uma carga
na posição
e uma carga
na posição
. Mostre que em um ponto distante ao longo do eixo
a componente
do campo elétrico é dada por
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um dipolo elétrico, que consiste em duas cargas de igual intensidade mas de sinais opostos: uma carga positiva
localizada em
e uma carga negativa
em
. Queremos descobrir como é a componente
do campo elétrico (
) em um ponto que está bem distante ao longo do eixo
. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do campo elétrico de uma carga pontual e aplicar conceitos de dipolo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico criado por uma única carga pontual. A fórmula para o campo elétrico (
) devido a uma carga
em um ponto a uma distância
é:
onde
é a constante eletrostática.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula para cada uma das cargas do dipolo no ponto distante ao longo do eixo
. Vamos chamar a distância do ponto em que estamos calculando o campo até cada carga de
. Como o ponto está bem distante, podemos considerar que
, onde
é a posição ao longo do eixo
.
Passo 4
Para a carga positiva
em
, a distância até o ponto no eixo
é aproximadamente
(pois
é muito maior que
). Portanto, o campo elétrico devido a essa carga é:
Ele aponta na direção positiva de
.
Passo 5
Para a carga negativa
em
, a distância até o ponto no eixo
também é aproximadamente
. O campo elétrico devido a essa carga é:
Ele aponta na direção negativa de
.
Passo 6
Como estamos somando os campos elétricos devido às duas cargas, temos:
Mas isso acontece porque consideramos apenas a aproximação inicial. Para obter uma expressão mais precisa para um dipolo, precisamos considerar termos de ordem superior na expansão em série de
.
Passo 7
Vamos expandir as distâncias considerando que
é pequeno em comparação com
. A distância para a carga positiva fica
, e para a negativa
. Usando a aproximação de binômio para
:
Passo 8
Agora, aplicamos essa aproximação aos campos elétricos:
Passo 9
Somando os campos:
Resposta
A componente
do campo elétrico em um ponto distante ao longo do eixo
é aproximadamente: