Considere o dipolo elétrico com uma carga na posição e uma carga na posição . Mostre que em um ponto distante ao longo do eixo a componente do campo elétrico é dada por

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um dipolo elétrico, que consiste em duas cargas de igual intensidade mas de sinais opostos: uma carga positiva localizada em e uma carga negativa em . Queremos descobrir como é a componente do campo elétrico ( ) em um ponto que está bem distante ao longo do eixo . Para isso, vamos precisar usar a fórmula do campo elétrico de uma carga pontual e aplicar conceitos de dipolo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico criado por uma única carga pontual. A fórmula para o campo elétrico ( ) devido a uma carga em um ponto a uma distância é:
onde é a constante eletrostática.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula para cada uma das cargas do dipolo no ponto distante ao longo do eixo . Vamos chamar a distância do ponto em que estamos calculando o campo até cada carga de . Como o ponto está bem distante, podemos considerar que , onde é a posição ao longo do eixo .

Passo 4

Para a carga positiva em , a distância até o ponto no eixo é aproximadamente (pois é muito maior que ). Portanto, o campo elétrico devido a essa carga é:
Ele aponta na direção positiva de .

Passo 5

Para a carga negativa em , a distância até o ponto no eixo também é aproximadamente . O campo elétrico devido a essa carga é:
Ele aponta na direção negativa de .

Passo 6

Como estamos somando os campos elétricos devido às duas cargas, temos:
Mas isso acontece porque consideramos apenas a aproximação inicial. Para obter uma expressão mais precisa para um dipolo, precisamos considerar termos de ordem superior na expansão em série de .

Passo 7

Vamos expandir as distâncias considerando que é pequeno em comparação com . A distância para a carga positiva fica , e para a negativa . Usando a aproximação de binômio para :

Passo 8

Agora, aplicamos essa aproximação aos campos elétricos:

Passo 9

Somando os campos:

Resposta

A componente do campo elétrico em um ponto distante ao longo do eixo é aproximadamente:

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