Considere o dipolo elétrico com uma carga q na posição x=a e uma carga -q na posição x=-a. Mostre que em um ponto distante ao longo do eixo x a componente x do campo elétrico é dada por
Ex approx 4 ke a qx^3

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um dipolo elétrico, que consiste em duas cargas de igual intensidade mas de sinais opostos: uma carga positiva q localizada em x = a e uma carga negativa -q em x = -a. Queremos descobrir como é a componente x do campo elétrico ( Ex) em um ponto que está bem distante ao longo do eixo x. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do campo elétrico de uma carga pontual e aplicar conceitos de dipolo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico criado por uma única carga pontual. A fórmula para o campo elétrico ( E) devido a uma carga q em um ponto a uma distância r é:
E = ke qr^2
onde ke é a constante eletrostática.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula para cada uma das cargas do dipolo no ponto distante ao longo do eixo x. Vamos chamar a distância do ponto em que estamos calculando o campo até cada carga de r. Como o ponto está bem distante, podemos considerar que r approx x, onde x é a posição ao longo do eixo x.

Passo 4

Para a carga positiva q em x = a, a distância até o ponto no eixo x é aproximadamente x - a approx x (pois x é muito maior que a). Portanto, o campo elétrico devido a essa carga é:
Eq approx ke qx^2
Ele aponta na direção positiva de x.

Passo 5

Para a carga negativa -q em x = -a, a distância até o ponto no eixo x também é aproximadamente x + a approx x. O campo elétrico devido a essa carga é:
E-q approx ke (-q)x^2
Ele aponta na direção negativa de x.

Passo 6

Como estamos somando os campos elétricos devido às duas cargas, temos:
Etotal = Eq + E-q = ke qx^2 - ke qx^2 = 0
Mas isso acontece porque consideramos apenas a aproximação inicial. Para obter uma expressão mais precisa para um dipolo, precisamos considerar termos de ordem superior na expansão em série de a/x.

Passo 7

Vamos expandir as distâncias considerando que a é pequeno em comparação com x. A distância para a carga positiva fica x - a, e para a negativa x + a. Usando a aproximação de binômio para (x pm a)^-2:
1(x pm a)^2 approx 1x^2 (1 mp 2ax)

Passo 8

Agora, aplicamos essa aproximação aos campos elétricos:
Eq approx ke qx^2 (1 - 2ax)
E-q approx ke (-q)x^2 (1 + 2ax)

Passo 9

Somando os campos:
Etotal = ke qx^2 (1 - 2ax) - ke qx^2 (1 + 2ax)
Etotal = ke qx^2 - 2 ke q ax^3 - ke qx^2 - 2 ke q ax^3
Etotal = -4 ke q ax^3

Resposta

A componente x do campo elétrico em um ponto distante ao longo do eixo x é aproximadamente:
Ex approx 4 ke a qx^3

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