A densidade do potássio metálico é de . Sabendo que a sua massa atômica é , determine a energia de Fermi do potássio em unidades de ev. Cada átomo contribui com um elétron livre.
é

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem que encontrar a energia de Fermi do potássio metálico, que está em unidades de eV. Para isso, sabemos que:
  • A densidade do potássio é .
  • A massa atômica é , o que dá .
  • Cada átomo de potássio contribui com um elétron livre.
Vamos precisar usar conceitos de física dos elétrons em metais, especificamente a energia de Fermi, que nos dá uma ideia da energia máxima que os elétrons possuem a temperatura zero.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a densidade de elétrons livres no potássio. Sabemos que cada átomo contribui com um elétron, então:
Onde:
  • é a densidade do potássio.
  • é o número de Avogadro.
  • é a massa atômica.
Vamos calcular:
é

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da energia de Fermi :
Mas, o exercício nos dá . Sabendo que , podemos reescrever a fórmula em termos de :
Vamos simplificar isso usando a constante fornecida.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular :
Para calcular isso, lembramos que :
éáá
Parece que houve um erro nos cálculos. Vamos corrigir isso.

Passo 5

Vamos refazer o cálculo de de forma mais cuidadosa:
é
Vamos calcular isso passo a passo:
Primeiro, separamos a base e o expoente:
Claramente, isso ainda mantém um expoente muito grande. Isso nos indica que a abordagem inicial para a fórmula pode estar incorreta ou que precisamos ajustar as unidades.

Passo 6

Vamos revisitar a fórmula da energia de Fermi e considerar unidades mais compatíveis. A fórmula correta para a energia de Fermi é:
Onde:
  • é a massa do elétron
Vamos recalcular :
é
Agora, substituímos na fórmula da energia de Fermi:
Esse valor ainda é muito alto para uma energia de Fermi típica. Vamos verificar se há um erro nas unidades ou no cálculo.

Passo 7

Vamos ajustar as unidades para garantir que tudo esteja consistente. A energia de Fermi geralmente está na faixa de alguns eV a dezenas de eV para metais.
Usando a fórmula correta com e em unidades de eV e kg:
Sabemos que:
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Multiplicando:
Convertendo para eV:

Resposta

A energia de Fermi do potássio metálico é aproximadamente 3,81 eV.

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