A densidade do potássio metálico é de . Sabendo que a sua massa atômica é , determine a energia de Fermi do potássio em unidades de ev. Cada átomo contribui com um elétron livre.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem que encontrar a energia de Fermi do potássio metálico, que está em unidades de eV. Para isso, sabemos que:
A densidade do potássio é .
A massa atômica é , o que dá .
Cada átomo de potássio contribui com um elétron livre.
Vamos precisar usar conceitos de física dos elétrons em metais, especificamente a energia de Fermi, que nos dá uma ideia da energia máxima que os elétrons possuem a temperatura zero.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a densidade de elétrons livres no potássio. Sabemos que cada átomo contribui com um elétron, então:
Onde:
é a densidade do potássio.
é o número de Avogadro.
é a massa atômica.
Vamos calcular:
é
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula da energia de Fermi:
Mas, o exercício nos dá . Sabendo que , podemos reescrever a fórmula em termos de :
Vamos simplificar isso usando a constante fornecida.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular :
Para calcular isso, lembramos que :
éáá
Parece que houve um erro nos cálculos. Vamos corrigir isso.
Passo 5
Vamos refazer o cálculo de de forma mais cuidadosa:
é
Vamos calcular isso passo a passo:
Primeiro, separamos a base e o expoente:
Claramente, isso ainda mantém um expoente muito grande. Isso nos indica que a abordagem inicial para a fórmula pode estar incorreta ou que precisamos ajustar as unidades.
Passo 6
Vamos revisitar a fórmula da energia de Fermi e considerar unidades mais compatíveis. A fórmula correta para a energia de Fermi é:
Onde:
é a massa do elétron
Vamos recalcular :
é
Agora, substituímos na fórmula da energia de Fermi:
Esse valor ainda é muito alto para uma energia de Fermi típica. Vamos verificar se há um erro nas unidades ou no cálculo.
Passo 7
Vamos ajustar as unidades para garantir que tudo esteja consistente. A energia de Fermi geralmente está na faixa de alguns eV a dezenas de eV para metais.
Usando a fórmula correta com e em unidades de eV e kg:
Sabemos que:
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Multiplicando:
Convertendo para eV:
Resposta
A energia de Fermi do potássio metálico é aproximadamente 3,81 eV.