A densidade do potássio metálico é de 860 kg / m^3. Sabendo que a sua massa atômica é barM=39 g / mol, determine a energia de Fermi do potássio em unidades de ev. Cada átomo contribui com um elétron livre.
l h=4.136 times 10^-15 eV s c=3,00 times 10^8 m / s 1 eV=1,6 times 10^-19 J para T=3000 K tem -se integral0^4.17 times 10^12 v^2e^h vk B T-1 d v=5.31505 times 10^38 Para o elétron: h^2m=4,82 times 10^-37 J^2 s^2kg NV=rho N Avogadro M é

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem que encontrar a energia de Fermi do potássio metálico, que está em unidades de eV. Para isso, sabemos que:
  • A densidade do potássio é .
  • A massa atômica é , o que dá .
  • Cada átomo de potássio contribui com um elétron livre.
Vamos precisar usar conceitos de física dos elétrons em metais, especificamente a energia de Fermi, que nos dá uma ideia da energia máxima que os elétrons possuem a temperatura zero.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a densidade de elétrons livres n = rho cdot NAM no potássio. Sabemos que cada átomo contribui com um elétron, então:
n = 860 times 6,022 times 10^230,039 approx 5,179 times 10^260,039 approx 1,329 times 10^28 , elétrons/m^3
Onde:
  • é a densidade do potássio.
  • é o número de Avogadro.
  • é a massa atômica.
Vamos calcular:
é

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da energia de Fermi EF = hbar^22m (3pi^2 n)^2/3 :
EF = h^28pi^2 m (3pi^2 n)^2/3
Mas, o exercício nos dá . Sabendo que , podemos reescrever a fórmula em termos de :
Vamos simplificar isso usando a constante fornecida.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular 3pi^2 approx 29,6088 :
3pi^2 n = 29,6088 times 1,329 times 10^28 approx 3,933 times 10^29
(3pi^2 n)^2/3 = (3,933 times 10^29)^2/3
(3,933 times 10^29)^2/3 approx e^(2/3) ln(3,933 times 10^29)
Para calcular isso, lembramos que ln(3,933 times 10^29) approx ln(3,933) + ln(10^29) approx 1,369 + 29 times 2,303 approx 1,369 + 66,787 approx 68,156 :
(3pi^2 n)^2/3 approx e^(2/3) times 68,156 approx e^45,437 (Esse valor é impraticável, indicando que precisamos reavaliar nossos cálculos)
éáá
Parece que houve um erro nos cálculos. Vamos corrigir isso.

Passo 5

Vamos refazer o cálculo de n = 1,329 times 10^28 , elétrons/m^3 de forma mais cuidadosa:
3pi^2 n = 3 times (3,1416)^2 times 1,329 times 10^28 approx 3 times 9,8696 times 1,329 times 10^28 approx 39,608 times 10^28 = 3,9608 times 10^29 é
(3pi^2 n)^2/3 = (3,9608 times 10^29)^2/3
(3,9608)^2/3 times (10^29)^2/3 = 2,346 times 10^(29 times 2/3) = 2,346 times 10^19,333
Vamos calcular isso passo a passo:
Primeiro, separamos a base e o expoente:
Claramente, isso ainda mantém um expoente muito grande. Isso nos indica que a abordagem inicial para a fórmula pode estar incorreta ou que precisamos ajustar as unidades.

Passo 6

Vamos revisitar a fórmula da energia de Fermi e considerar unidades mais compatíveis. A fórmula correta para a energia de Fermi é:
EF = hbar^22m (3pi^2 n)^2/3
Onde:
  • n = 1,329 times 10^28 , elétrons/m^3
  • 3pi^2 n = 3 times 9,8696 times 1,329 times 10^28 approx 39,608 times 10^28 = 3,9608 times 10^29 é a massa do elétron (3pi^2 n)^2/3 approx (3,9608 times 10^29)^2/3 approx 1,821 times 10^20 , m^-2
Vamos recalcular EF = (6,58 times 10^-16)^22 times 9,109 times 10^-31 times 1,821 times 10^20 :
EF = 4,33 times 10^-311,8218 times 10^-30 times 1,821 times 10^20 approx 0,238 times 1,821 times 10^20 approx 4,333 times 10^19 , eV é
Agora, substituímos na fórmula da energia de Fermi:
Esse valor ainda é muito alto para uma energia de Fermi típica. Vamos verificar se há um erro nas unidades ou no cálculo.

Passo 7

Vamos ajustar as unidades para garantir que tudo esteja consistente. A energia de Fermi geralmente está na faixa de alguns eV a dezenas de eV para metais.
Usando a fórmula correta com EF = hbar^22m (3pi^2 n)^2/3 e hbar approx 1,055 times 10^-34 , J s em unidades de eV e kg:
m = 9,109 times 10^-31 , kg
Sabemos que:
1 , eV = 1,6 times 10^-19 , J
hbar^22m = (1,055 times 10^-34)^22 times 9,109 times 10^-31 approx 1,113 times 10^-681,8218 times 10^-30 approx 6,104 times 10^-39 , J m^2
3pi^2 n = 3 times (3,1416)^2 times 1,329 times 10^28 approx 3 times 9,8696 times 1,329 times 10^28 approx 3,933 times 10^29
Primeiro, calculamos (3pi^2 n)^2/3 = (3,933 times 10^29)^2/3 approx 1,0 times 10^20 , m^-2 :
EF = 6,104 times 10^-39 times 1,0 times 10^20 approx 6,104 times 10^-19 , J
Agora, calculamos EF = 6,104 times 10^-191,6 times 10^-19 approx 3,81 , eV :
Multiplicando:
Convertendo para eV:

Resposta

A energia de Fermi do potássio metálico é aproximadamente 3,81 eV.

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