Mostre que x=a sin (omega t)+b cos (omega t), a, b in R, é solução da equação de movimento do oscilador harmônico simples.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que a função , onde e são números reais, resolve a equação de movimento do oscilador harmônico simples. Isso envolve entender umas derivadas e como elas se encaixam na equação que descreve esse tipo de movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a equação de movimento do oscilador harmônico simples. Ela é dada por:
d^2xdt^2 + omega^2 x = 0
Aqui, é a frequência angular do oscilador, e é a posição em função do tempo .

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada de dxdt = ddt[a sin(omega t) + b cos(omega t)] = a omega cos(omega t) - b omega sin(omega t) em relação ao tempo:
Isso nos dá a velocidade do oscilador.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a segunda derivada de d^2xdt^2 = ddt[a omega cos(omega t) - b omega sin(omega t)] = -a omega^2 sin(omega t) - b omega^2 cos(omega t) :
Essa é a aceleração do oscilador.

Passo 5

Agora, substituímos d^2xdt^2 + omega^2 x = [-a omega^2 sin(omega t) - b omega^2 cos(omega t)] + omega^2 [a sin(omega t) + b cos(omega t)] e sua segunda derivada na equação de movimento:
= -a omega^2 sin(omega t) - b omega^2 cos(omega t) + a omega^2 sin(omega t) + b omega^2 cos(omega t)
Vamos simplificar isso:
= 0
Perceba que todos os termos se cancelam:
Isso mostra que a equação é satisfeita.

Resposta

A função realmente resolve a equação de movimento do oscilador harmônico simples, já que após as substituições e simplificações chegamos a , confirmando que a equação é satisfeita.

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