Considere o dipolo elétrico do Exemplo 21.14. (a) Deduza uma expressão para o módulo do campo elétrico produzido pelo dipolo em um ponto sobre o eixo x na Figura 21.33. Qual é a direção e o sentido desse campo elétrico? (b) Como o campo elétrico nos pontos sobre o eixo x depende de x quando este é muito grande?

Passo 1

Beleza, bora resolver esse exercício sobre dipolo elétrico! A gente precisa encontrar a expressão do campo elétrico gerado por um dipolo em um ponto sobre o eixo e entender como esse campo se comporta quando a distância é muito grande. Para isso, vamos precisar entender o que é um dipolo elétrico e como calcular o campo elétrico de cargas pontuais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um dipolo elétrico é composto por duas cargas iguais em módulo, mas de sinais opostos, separadas por uma distância pequena. No eixo , vamos considerar uma carga em e uma carga em .

Passo 3

O campo elétrico gerado por uma carga pontual é dado por:
E = ke qr^2
onde é a constante eletrostática, é a carga e é a distância do ponto onde estamos calculando o campo até a carga.

Passo 4

Agora, vamos calcular o campo elétrico total no ponto sobre o eixo devido às duas cargas do dipolo. Suponha que estamos no ponto distante de , então as distâncias das cargas ao ponto são aproximadamente e . Como é maior que , podemos simplificar as expressões.

Passo 5

O campo devido à carga E+ = ke q(x - d2)^2 será:
E- = -ke q(x + d2)^2
E o campo devido à carga será:
Como os campos são vetoriais na mesma direção (eixo ), podemos somá-los diretamente.

Passo 6

Somando os campos:
Etotal = E+ + E- = ke q(x - d2)^2 - ke q(x + d2)^2
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 7

Fatorando Etotal approx ke q ( 1x^2 (1 + dx)^-2 - 1x^2 (1 - dx)^-2 ) e usando a aproximação para Etotal approx 2 ke q dx^3 muito maior que , temos:
Expandindo os termos e mantendo os primeiros termos significativos, obtemos:

Passo 8

Portanto, a magnitude do campo elétrico no ponto sobre o eixo |E| = 2 ke q dx^3 é:
A direção desse campo é na direção do eixo . O sentido depende das cargas: se considerarmos em e em , o campo no lado positivo do eixo aponta para .

Passo 9

Para a parte (b), quando é muito grande, a dependência do campo elétrico em relação a é dominada pelo termo . Isso significa que o campo elétrico decai proporcionalmente a quando se torna muito grande.

Resposta

(a) O módulo do campo elétrico no ponto sobre o eixo é e sua direção é ao longo do eixo , apontando na direção positiva. (b) Quando é muito grande, o campo elétrico decai proporcionalmente a .

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