Considere o dipolo elétrico do Exemplo 21.14. (a) Deduza uma expressão para o módulo do campo elétrico produzido pelo dipolo em um ponto sobre o eixo
na Figura 21.33. Qual é a direção e o sentido desse campo elétrico? (b) Como o campo elétrico nos pontos sobre o eixo
depende de
quando este é muito grande?
Passo 1
Beleza, bora resolver esse exercício sobre dipolo elétrico! A gente precisa encontrar a expressão do campo elétrico gerado por um dipolo em um ponto sobre o eixo
e entender como esse campo se comporta quando a distância
é muito grande. Para isso, vamos precisar entender o que é um dipolo elétrico e como calcular o campo elétrico de cargas pontuais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um dipolo elétrico é composto por duas cargas iguais em módulo, mas de sinais opostos, separadas por uma distância pequena. No eixo
, vamos considerar uma carga
em
e uma carga
em
.
Passo 3
O campo elétrico gerado por uma carga pontual é dado por:
onde
é a constante eletrostática,
é a carga e
é a distância do ponto onde estamos calculando o campo até a carga.
Passo 4
Agora, vamos calcular o campo elétrico total no ponto sobre o eixo
devido às duas cargas do dipolo. Suponha que estamos no ponto
distante de
, então as distâncias das cargas ao ponto são aproximadamente
e
. Como
é maior que
, podemos simplificar as expressões.
Passo 5
O campo devido à carga
será:
E o campo devido à carga
será:
Como os campos são vetoriais na mesma direção (eixo
), podemos somá-los diretamente.
Passo 6
Somando os campos:
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 7
Fatorando
e usando a aproximação para
muito maior que
, temos:
Expandindo os termos e mantendo os primeiros termos significativos, obtemos:
Passo 8
Portanto, a magnitude do campo elétrico no ponto sobre o eixo
é:
A direção desse campo é na direção do eixo
. O sentido depende das cargas: se considerarmos
em
e
em
, o campo no lado positivo do eixo
aponta para
.
Passo 9
Para a parte (b), quando
é muito grande, a dependência do campo elétrico em relação a
é dominada pelo termo
. Isso significa que o campo elétrico decai proporcionalmente a
quando
se torna muito grande.
Resposta
(a) O módulo do campo elétrico no ponto sobre o eixo
é
e sua direção é ao longo do eixo
, apontando na direção positiva. (b) Quando
é muito grande, o campo elétrico decai proporcionalmente a
.