Considere o dipolo formado pelas cargas -q e+q, estando a primeira na origem do sistema de coordenadas, e a segunda em (0,0, a). Resolva novamente o problema calculando, primeiramente, os momentos de monopolo, dipolo e quadrupolo.

Passo 1

Então, o que a questão pede é para calcular os momentos de monopolo, dipolo e quadrupolo de um dipolo elétrico formado por duas cargas: uma carga negativa -qe na origem e uma carga positiva +q no ponto (0, 0, a). Para resolver isso, vamos precisar entender o que são esses momentos e como calculá-los usando as posições e as magnitudes das cargas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento de monopolo. O monopolo elétrico é simplesmente a soma de todas as cargas presentes no sistema. É uma medida da carga total do sistema.
Q = sum qi
Aqui, temos duas cargas: -qe e +q. Então,
Q = -qe + q

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento de dipolo. O dipolo elétrico é um vetor que mede a separação entre as cargas positivas e negativas e a magnitude das cargas. A fórmula para o momento de dipolo p é:
p = sum qi ri
Onde qi são as cargas e ri são as posições das cargas. No nosso caso:
  • Para a carga -qe na origem, r1 = (0, 0, 0).
  • Para a carga +q em (0, 0, a), r2 = (0, 0, a).
Então,
p = (-qe)(0, 0, 0) + q(0, 0, a) = (0, 0, qa)

Passo 4

Por último, vamos calcular o momento de quadrupolo. O quadrupolo leva em conta a distribuição das cargas de maneira mais detalhada, considerando a simetria e a distribuição espacial das cargas. A componente principal do tensor de quadrupolo em uma direção específica pode ser calculada, mas para simplicidade, assumiremos que estamos interessados apenas na componente principal ao longo do eixo z.
A fórmula simplificada para o momento de quadrupolo Qzz é:
Qzz = sum qi (3zi^2 - ri^2)
Onde zi é a coordenada z da carga e ri é a distância da carga à origem. Calculando para nossas cargas:
  • Para -qe na origem, z1 = 0 e r1 = 0.
  • Para +q em (0, 0, a), z2 = a e r2 = a.
Então,
Qzz = (-qe)(3(0)^2 - 0^2) + q(3a^2 - a^2) = q(2a^2) = 2qa^2

Resposta

Os momentos calculados são:
  • Monopolo: Q = -qe + q
  • Dipolo: p = (0, 0, qa)
  • Quadrupolo: Qzz = 2qa^2

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