Onde você deve colocar um objeto em frente a um espelho côncavo com raio R para que a imagem seja direita e 2,5 vezes maior do que o objeto? Onde se forma a imagem?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de óptica geométrica envolvendo um espelho côncavo. Precisamos descobrir onde colocar um objeto em frente a um espelho côncavo com raio para que a imagem formada seja direita (erecta) e 2,5 vezes maior que o objeto. Além disso, vamos determinar onde exatamente essa imagem se forma. Para isso, vamos utilizar as fórmulas do espelho esférico e do aumento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um espelho côncavo, o focal f = R2 está relacionado ao raio do espelho pela fórmula:
Essa relação nos ajuda a encontrar a distância focal, que é essencial para aplicar a equação do espelho.

Passo 3

A próxima etapa é usar a equação do espelho que relaciona a distância do objeto 1f = 1p + 1q e a distância da imagem :
Essa equação nos permite conectar as posições do objeto e da imagem com a distância focal.

Passo 4

Sabemos também que o aumento m = hiho = qp da imagem é dado por:
2,5 = qp
Onde q = 2,5 , p é a altura da imagem e é a altura do objeto. No nosso caso, o aumento é 2,5 e como a imagem é direita, o aumento é positivo:
Isso nos permite expressar em função de :

Passo 5

Agora, substituímos 1f = 1p + 12,5 , p na equação do espelho:
1f = 1 + 12,5p = 1 + 0,4p = 1,4p
Simplificando a equação:
p = 1,4 , f
Portanto:

Passo 6

Sabendo que p = 1,4 times R2 = 0,7 , R , substituímos na expressão de :
Logo, a distância do objeto em relação ao espelho é .

Passo 7

Agora, usando q = 2,5 times 0,7 , R = 1,75 , R , calculamos :
Portanto, a imagem se forma a uma distância de do espelho.

Resposta

O objeto deve ser colocado a do espelho côncavo, e a imagem se forma a do espelho.

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