A partir da discussão apresentada em sala determine a expressão do potencial na contribuição de octopolo
em que o tensor de octopolo é definido por
(Dica: aplique a expansão multipolar vista em sala para
e considere os termos até ordem
(ou
).)
Passo 1
Beleza, então a gente tem um exercício de física que pede pra gente determinar a expressão do potencial na contribuição de octopolo. Isso tá dentro do estudo de expansão multipolar na eletrostática. A gente vai precisar entender como expandir o potencial elétrico em termos de multipolos e focar nos termos de ordem de octopolo, que são mais complexos que os dipolo e quadrupolo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da expansão multipolar do potencial elétrico. Quando a gente tem uma distribuição de carga, o potencial em um ponto distante pode ser expandido em termos de multipolos (dipolo, quadrupolo, octopolo, etc.). A fórmula geral para essa expansão é:
Aqui, cada termo corresponde a um nível de multipolo.
Passo 3
Como o exercício pede até a ordem de octopolo, que é o terceiro termo na expansão, vamos focar nesse. O termo de octopolo envolve integrais de produtos de três componentes das coordenadas das cargas, o que está relacionado ao tensor de octopolo fornecido.
Passo 4
O tensor de octopolo é definido por:
Esse tensor encapsula a distribuição de carga de forma mais detalhada, levando em conta as interações entre três direções espaciais diferentes.
Passo 5
Com a expansão multipolar e o tensor de octopolo em mãos, podemos escrever a contribuição do octopolo ao potencial elétrico. Substituindo as definições e focando nos termos de ordem
, chegamos à expressão:
Resposta
A expressão do potencial na contribuição de octopolo é:
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e
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em que e
são constantes.
em que