Considere uma função de uma onda harmônica tal que y(x, t)=A sen(k x-omega t). Demonstre que esta função é solução da equação de onda: partial^2 ypartial x^2-1v^2 partial^2 ypartial t^2=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que representa uma onda harmônica: . Nosso objetivo é mostrar que essa função satisfaz a equação de onda . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de partial ypartial x = A k cos(kx - omega t) em relação a partial^2 ypartial x^2 = -A k^2 sin(kx - omega t) . A função é .
A primeira derivada em relação a é:
Agora, a segunda derivada em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de partial ypartial t = -A omega cos(kx - omega t) em relação a partial^2 ypartial t^2 = -A omega^2 sin(kx - omega t) .
A primeira derivada em relação a é:
E a segunda derivada em relação a é:

Passo 4

Com as derivadas calculadas, vamos substituir na equação de onda:
partial^2 ypartial x^2 - 1v^2 partial^2 ypartial t^2 = -A k^2 sin(kx - omega t) - 1v^2 (-A omega^2 sin(kx - omega t))
Simplificando:
- A k^2 sin(kx - omega t) + A omega^2v^2 sin(kx - omega t)

Passo 5

Fatorando A sin(kx - omega t) ( -k^2 + omega^2v^2 ) :
A sin(kx - omega t) ( -k^2 + omega^2v^2 ) = 0
Para que a equação de onda seja satisfeita, essa expressão deve ser igual a zero:
-k^2 + omega^2v^2 = 0
Como e não são sempre zero, o que deve acontecer é:

Passo 6

Resolvendo para omega^2v^2 = k^2 implies omega = v k em termos de e :

Resposta

A função satisfaz a equação de onda quando .

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