Considere uma função de uma onda harmônica tal que
. Demonstre que esta função é solução da equação de onda:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que representa uma onda harmônica:
. Nosso objetivo é mostrar que essa função satisfaz a equação de onda
. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
. A função é
.
A primeira derivada em relação a
é:
Agora, a segunda derivada em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
.
A primeira derivada em relação a
é:
E a segunda derivada em relação a
é:
Passo 4
Com as derivadas calculadas, vamos substituir na equação de onda:
Simplificando:
Passo 5
Fatorando
:
Para que a equação de onda seja satisfeita, essa expressão deve ser igual a zero:
Como
e
não são sempre zero, o que deve acontecer é:
Passo 6
Resolvendo para
em termos de
e
:
Resposta
A função
satisfaz a equação de onda
quando
.
Exercícios relacionados
Partindo da expressão da velocidade de uma onda harmônica,
, e utilizando as relações entre
, mostre que
.
O potencial de um átomo de hidrogênio neutro é dado por
onde
é a carga do elétron e
é o raio de Bohr. Determinar a distribuição de cargas que produz esse potencial e interpretar fisicamente o resultado.
As soluções harmônicas das equações de onda em uma dimensão
e
são
e
. Mostre que
e
.
Considere o dipolo formado pelas cargas
, estando a primeira na origem do sistema de coordenadas, e a segunda em
. Resolva novamente o problema calculando, primeiramente, os momentos de monopolo, dipolo e quadrupolo.