Considere uma função de uma onda harmônica tal que . Demonstre que esta função é solução da equação de onda: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que representa uma onda harmônica: . Nosso objetivo é mostrar que essa função satisfaz a equação de onda . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de em relação a . A função é .
A primeira derivada em relação a é:
Agora, a segunda derivada em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a .
A primeira derivada em relação a é:
E a segunda derivada em relação a é:

Passo 4

Com as derivadas calculadas, vamos substituir na equação de onda:
Simplificando:

Passo 5

Fatorando :
Para que a equação de onda seja satisfeita, essa expressão deve ser igual a zero:
Como e não são sempre zero, o que deve acontecer é:

Passo 6

Resolvendo para em termos de e :

Resposta

A função satisfaz a equação de onda quando .

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