As soluções harmônicas das equações de onda em uma dimensão e são e . Mostre que e .

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem duas equações de onda em uma dimensão para os campos elétrico ( ) e magnético ( ). As soluções harmônicas dadas são e . O objetivo é demonstrar que a amplitude do campo elétrico ( ) é igual à velocidade da luz ( ) vezes a amplitude do campo magnético ( ), ou seja, , e também que .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que nas ondas eletromagnéticas, os campos elétrico e magnético estão relacionados pela constante (permeabilidade do vácuo) e (permitividade do vácuo). A velocidade da luz no vácuo ( ) está ligada por .

Passo 3

Vamos começar comparando as duas equações de onda:
Essas são as formas gerais das equações de onda para os campos elétrico e magnético.

Passo 4

Agora, substituímos as soluções dadas nas equações de onda para verificar a relação entre e . Vamos calcular as derivadas.
Para :
Substituindo na equação de onda:
Simplificando:

Passo 5

Sabemos que a velocidade da onda é dada por . Da relação , temos:
Então, a velocidade da onda é a velocidade da luz .

Passo 6

Agora, sabemos que em uma onda eletromagnética no vácuo, os campos elétrico e magnético estão ligados pela relação . Aplicando isso às amplitudes:
E, portanto, nas equações das ondas:

Resposta

Então, mostramos que e que , conforme solicitado.

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