As soluções harmônicas das equações de onda em uma dimensão
e
são
e
. Mostre que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem duas equações de onda em uma dimensão para os campos elétrico (
) e magnético (
). As soluções harmônicas dadas são
e
. O objetivo é demonstrar que a amplitude do campo elétrico (
) é igual à velocidade da luz (
) vezes a amplitude do campo magnético (
), ou seja,
, e também que
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que nas ondas eletromagnéticas, os campos elétrico e magnético estão relacionados pela constante
(permeabilidade do vácuo) e
(permitividade do vácuo). A velocidade da luz no vácuo (
) está ligada por
.
Passo 3
Vamos começar comparando as duas equações de onda:
Essas são as formas gerais das equações de onda para os campos elétrico e magnético.
Passo 4
Agora, substituímos as soluções dadas nas equações de onda para verificar a relação entre
e
. Vamos calcular as derivadas.
Para
:
Substituindo na equação de onda:
Simplificando:
Passo 5
Sabemos que a velocidade da onda
é dada por
. Da relação
, temos:
Então, a velocidade da onda é a velocidade da luz
.
Passo 6
Agora, sabemos que em uma onda eletromagnética no vácuo, os campos elétrico e magnético estão ligados pela relação
. Aplicando isso às amplitudes:
E, portanto, nas equações das ondas:
Resposta
Então, mostramos que
e que
, conforme solicitado.
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Considere uma função de uma onda harmônica tal que
. Demonstre que esta função é solução da equação de onda:
.
Partindo da expressão da velocidade de uma onda harmônica,
, e utilizando as relações entre
, mostre que
.
Considere o dipolo formado pelas cargas
, estando a primeira na origem do sistema de coordenadas, e a segunda em
. Resolva novamente o problema calculando, primeiramente, os momentos de monopolo, dipolo e quadrupolo.
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