As soluções harmônicas das equações de onda em uma dimensão partial^2 Eypartial x^2=mu0 varepsilon0 partial^2 Eypartial t^2 e partial^2 Bzpartial x^2=mu0 varepsilon0 partial^2 Bzpartial t^2 são Ey=E0 sen(k x-omega t) e Bz=B0 sen(k x-omega t). Mostre que E0=c B0 e Ey=c Bz.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem duas equações de onda em uma dimensão para os campos elétrico ( Ey) e magnético ( Bz). As soluções harmônicas dadas são Ey = E0 sin(kx - omega t) e Bz = B0 sin(kx - omega t). O objetivo é demonstrar que a amplitude do campo elétrico ( E0) é igual à velocidade da luz ( c) vezes a amplitude do campo magnético ( B0), ou seja, E0 = c B0, e também que Ey = c Bz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que nas ondas eletromagnéticas, os campos elétrico e magnético estão relacionados pela constante mu0 (permeabilidade do vácuo) e varepsilon0 (permitividade do vácuo). A velocidade da luz no vácuo ( c) está ligada por c = 1raizmu0 varepsilon0.

Passo 3

Vamos começar comparando as duas equações de onda:
partial^2 Eypartial x^2 = mu0 varepsilon0 partial^2 Eypartial t^2
partial^2 Bzpartial x^2 = mu0 varepsilon0 partial^2 Bzpartial t^2
Essas são as formas gerais das equações de onda para os campos elétrico e magnético.

Passo 4

Agora, substituímos as soluções dadas nas equações de onda para verificar a relação entre E0 e B0. Vamos calcular as derivadas.
Para Ey:
partial^2 Eypartial x^2 = -k^2 E0 sin(kx - omega t)
partial^2 Eypartial t^2 = -omega^2 E0 sin(kx - omega t)
Substituindo na equação de onda:
-k^2 E0 sin(kx - omega t) = mu0 varepsilon0 (-omega^2) E0 sin(kx - omega t)
Simplificando:
k^2 = mu0 varepsilon0 omega^2

Passo 5

Sabemos que a velocidade da onda v é dada por v = omegak. Da relação k^2 = mu0 varepsilon0 omega^2, temos:
omega^2k^2 = 1mu0 varepsilon0 Rightarrow v^2 = 1mu0 varepsilon0 Rightarrow v = c
Então, a velocidade da onda é a velocidade da luz c.

Passo 6

Agora, sabemos que em uma onda eletromagnética no vácuo, os campos elétrico e magnético estão ligados pela relação E = c B. Aplicando isso às amplitudes:
E0 = c B0
E, portanto, nas equações das ondas:
Ey = c Bz

Resposta

Então, mostramos que E0 = c B0 e que Ey = c Bz, conforme solicitado.

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