Considere um disco circular de plástico, de raio
, que possui uma carga superficial uniforme de densidade
, distribuída sobre sua superfície superior. © E o que se espera para pontos suficientemente próximos do disco,
, qual a expressão do campo elétrico? Comente o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco circular de plástico com raio $ R $, que possui uma carga superficial uniforme com densidade $ \sigma $ distribuída na sua superfície superior. O que a gente quer descobrir aqui é qual é a expressão do campo elétrico perto demais do disco, ou seja, quando a distância $ z $ acima do disco é muito menor que o raio $ R $ ($ z << R $), chegando perto de zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico gerado por cargas em superfícies e fazer uma aproximação para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico gerado por uma superfície carregada pode ser encontrado usando a Lei de Gauss. Para uma distribuição de carga uniforme em uma superfície plana infinita, o campo elétrico é dado por:
onde $ \sigma $ é a densidade de carga superficial e $ \varepsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 3
No nosso caso, o disco tem um raio finito $ R $, mas estamos interessados em pontos muito próximos ao disco, onde $ z << R $. Quando estamos perto desse ponto, a curvatura do disco não tem muita influência e o disco se comporta quase como uma superfície infinita. Isso significa que podemos usar a mesma expressão do campo elétrico para uma superfície plana infinita como uma boa aproximação.
Passo 4
Portanto, substituindo na fórmula para o campo elétrico de uma superfície infinita, temos:
Esse é o valor do campo elétrico próximo ao disco quando $ z $ tende a zero.
Resposta
Para pontos muito próximos ao disco ($ z << R $ e $ z \rightarrow 0 $), o campo elétrico é dado por:
Isso significa que, perto do disco, o campo elétrico se comporta como o de uma superfície plana infinita, já que a influência das bordas do disco torna-se insignificante quando estamos muito próximos ao centro.