Considere um disco circular de plástico, de raio R, que possui uma carga superficial uniforme de densidade sigma, distribuída sobre sua superfície superior. (b) O que se espera para pontos suficientemente distantes do disco, z>>R, qual a expressão do campo elétrico? Comente o resultado.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco circular de plástico com raio $ R $ e uma carga superficial uniforme com densidade $ \sigma $ distribuída na sua superfície superior. A pergunta é: para pontos muito distantes do disco, onde $ z \gg R $, qual é a expressão do campo elétrico? Além disso, precisamos comentar o resultado que encontramos. Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre campos elétricos gerados por distribuições de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico devido a uma distribuição de carga depende da posição onde estamos calculando esse campo. No caso de um disco circular com carga, o campo elétrico ao longo do eixo perpendicular ao disco (eixo $ z $) pode ser calculado usando a Lei de Gauss ou a integração direta da contribuição de cada elemento de carga.

Passo 3

Como o ponto onde estamos calculando o campo está muito distante do disco ($ z \gg R $), podemos simplificar o problema. Nessa situação, o disco parece muito pequeno em comparação com a distância $ z $, e sua distribuição de carga pode ser aproximada como se todo o carga estivesse concentrada em um único ponto, ou seja, o centro do disco.

Passo 4

Calcular o campo elétrico de uma carga pontual é muito mais simples. Sabemos que o campo elétrico $ E $ devido a uma carga pontual $ Q $ a uma distância $ z $ é dado por:
E
onde $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.

Passo 5

Agora, precisamos determinar a carga total $ Q $ no disco. Como a densidade superficial de carga é $ \sigma $ e a área de um disco é $ \pi R^2 $, a carga total é:
Q

Passo 6

Substituindo $ Q $ na expressão do campo elétrico, temos:
Q
Simplificando a expressão:
E = 14pi varepsilon0 cdot sigma cdot pi R^2z^2

Passo 7

Esse resultado mostra que, para pontos muito distantes do disco ($ z \gg R $), o campo elétrico é proporcional a $ \frac{1}{z^2} $, o que é característico de campos elétricos de cargas pontuais segundo a Lei de Coulomb. Isso confirma que, nessa condição, o disco pode ser tratado como uma carga pontual com carga total $ Q = \sigma \pi R^2 $.

Resposta

Para pontos muito distantes do disco ($ z \gg R $), o campo elétrico é dado por:
z gg R
Isso indica que, nessas condições, o disco se comporta como uma carga pontual, com o campo elétrico decaindo proporcionalmente a $ \frac{1}{z^2} $, conforme a Lei de Coulomb.

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