Considere um disco circular de plástico, de raio
, que possui uma carga superficial uniforme de densidade
, distribuída sobre sua superfície superior. (b) O que se espera para pontos suficientemente distantes do disco,
, qual a expressão do campo elétrico? Comente o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco circular de plástico com raio $ R $ e uma carga superficial uniforme com densidade $ \sigma $ distribuída na sua superfície superior. A pergunta é: para pontos muito distantes do disco, onde $ z \gg R $, qual é a expressão do campo elétrico? Além disso, precisamos comentar o resultado que encontramos. Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre campos elétricos gerados por distribuições de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico devido a uma distribuição de carga depende da posição onde estamos calculando esse campo. No caso de um disco circular com carga, o campo elétrico ao longo do eixo perpendicular ao disco (eixo $ z $) pode ser calculado usando a Lei de Gauss ou a integração direta da contribuição de cada elemento de carga.
Passo 3
Como o ponto onde estamos calculando o campo está muito distante do disco ($ z \gg R $), podemos simplificar o problema. Nessa situação, o disco parece muito pequeno em comparação com a distância $ z $, e sua distribuição de carga pode ser aproximada como se todo o carga estivesse concentrada em um único ponto, ou seja, o centro do disco.
Passo 4
Calcular o campo elétrico de uma carga pontual é muito mais simples. Sabemos que o campo elétrico $ E $ devido a uma carga pontual $ Q $ a uma distância $ z $ é dado por:
onde $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.
Passo 5
Agora, precisamos determinar a carga total $ Q $ no disco. Como a densidade superficial de carga é $ \sigma $ e a área de um disco é $ \pi R^2 $, a carga total é:
Passo 6
Substituindo $ Q $ na expressão do campo elétrico, temos:
Simplificando a expressão:
Passo 7
Esse resultado mostra que, para pontos muito distantes do disco ($ z \gg R $), o campo elétrico é proporcional a $ \frac{1}{z^2} $, o que é característico de campos elétricos de cargas pontuais segundo a Lei de Coulomb. Isso confirma que, nessa condição, o disco pode ser tratado como uma carga pontual com carga total $ Q = \sigma \pi R^2 $.
Resposta
Para pontos muito distantes do disco ($ z \gg R $), o campo elétrico é dado por:
Isso indica que, nessas condições, o disco se comporta como uma carga pontual, com o campo elétrico decaindo proporcionalmente a $ \frac{1}{z^2} $, conforme a Lei de Coulomb.