Considere uma distribuição linear de cargas ao longo de um arco de circunferência de raio R. Seja theta0 o ângulo central compreendido pelo arco de circunferência. Determine o módulo do campo elétrico no centro da circunferência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma distribuição linear de cargas ao longo de um arco de circunferência com raio $ R $. O ângulo central desse arco é $ \theta_{0} $. Nosso objetivo é encontrar o módulo do campo elétrico no centro da circunferência. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico gerado por distribuições de carga e integração, já que a carga está distribuída de forma contínua ao longo do arco.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar que a carga está distribuída uniformemente ao longo do arco. Vamos chamar de $ \lambda $ a densidade linear de carga, ou seja, a carga por unidade de comprimento. A densidade linear de carga é dada por:
lambda
onde $ Q $ é a carga total e $ L $ é o comprimento do arco. Como o comprimento do arco $ L $ pode ser calculado por:
lambda = QL
então:
Q

Passo 3

Agora, vamos considerar um pequeno elemento de comprimento $ ds $ no arco, que contém uma pequena quantidade de carga $ dq $:
ds
O campo elétrico gerado por esse pequeno elemento de carga $ dq $ no centro da circunferência é dado pela lei de Coulomb:
dq
Como o campo elétrico é um vetor, precisamos considerar suas componentes. Devido à simetria do problema, as componentes verticais (perpendiculares ao eixo de simetria) vão se cancelar, e apenas as componentes horizontais (paralelas ao eixo de simetria) vão se somar.

Passo 4

Vamos expressar $ ds $ em termos do ângulo $ \theta $. Sabemos que:
ds
Então, substituindo na expressão para $ dq $:
theta
Substituindo $ dq $ na expressão para $ dE $:
ds = R , dtheta
A componente horizontal do campo elétrico devido a $ dE $ é:
dq

Passo 5

Para encontrar o campo elétrico total no centro, vamos integrar $ dE_x $ de $ -\theta_{0}/2 $ a $ \theta_{0}/2 $:
dEx
Como a função $ \cos\theta $ é par, podemos simplificar a integral:
-theta0/2
Calculando a integral:
theta0/2
Substituindo $ \lambda = \frac{Q}{R \theta_{0}} $:

Resposta

O módulo do campo elétrico no centro da circunferência é:

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