Considere uma distribuição linear de cargas ao longo de um arco de circunferência de raio R. Seja
o ângulo central compreendido pelo arco de circunferência. Determine o módulo do campo elétrico no centro da circunferência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma distribuição linear de cargas ao longo de um arco de circunferência com raio $ R $. O ângulo central desse arco é $ \theta_{0} $. Nosso objetivo é encontrar o módulo do campo elétrico no centro da circunferência. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico gerado por distribuições de carga e integração, já que a carga está distribuída de forma contínua ao longo do arco.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar que a carga está distribuída uniformemente ao longo do arco. Vamos chamar de $ \lambda $ a densidade linear de carga, ou seja, a carga por unidade de comprimento. A densidade linear de carga é dada por:
onde $ Q $ é a carga total e $ L $ é o comprimento do arco. Como o comprimento do arco $ L $ pode ser calculado por:
então:
Passo 3
Agora, vamos considerar um pequeno elemento de comprimento $ ds $ no arco, que contém uma pequena quantidade de carga $ dq $:
O campo elétrico gerado por esse pequeno elemento de carga $ dq $ no centro da circunferência é dado pela lei de Coulomb:
Como o campo elétrico é um vetor, precisamos considerar suas componentes. Devido à simetria do problema, as componentes verticais (perpendiculares ao eixo de simetria) vão se cancelar, e apenas as componentes horizontais (paralelas ao eixo de simetria) vão se somar.
Passo 4
Vamos expressar $ ds $ em termos do ângulo $ \theta $. Sabemos que:
Então, substituindo na expressão para $ dq $:
Substituindo $ dq $ na expressão para $ dE $:
A componente horizontal do campo elétrico devido a $ dE $ é:
Passo 5
Para encontrar o campo elétrico total no centro, vamos integrar $ dE_x $ de $ -\theta_{0}/2 $ a $ \theta_{0}/2 $:
Como a função $ \cos\theta $ é par, podemos simplificar a integral:
Calculando a integral:
Substituindo $ \lambda = \frac{Q}{R \theta_{0}} $:
Resposta
O módulo do campo elétrico no centro da circunferência é: