Considere um disco circular de raio 5,0 cm no plano x y. Suponha que a densidade superficial de carga seja dada por rhoS=12 rho nC / cm^2, em que rho é uma distância radial dada em coordenadas cilíndricas. Calcule a intensidade do campo elétrico em z=20 cm acima do plano do disco, sobre seu eixo.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos aqui. Temos um disco circular com raio de 5,0,cm no plano xy. A densidade superficial de carga é dada por rhoS = 12, rho, nC/cm²², onde rho é a distância radial no sistema de coordenadas cilíndricas. Nosso objetivo é calcular a intensidade do campo elétrico na posição z = 20,cm acima do centro do disco, ao longo do eixo z.
Matéria envolvida: Estamos lidando com eletrostática, especificamente com o cálculo do campo elétrico gerado por distribuições contínuas de carga com simetria cilíndrica.
O que vamos precisar: Vamos usar a fórmula para o campo elétrico gerado por um anel circular de carga e integrar isso para todo o disco. Além disso, vamos precisar entender como a densidade superficial de carga varia com a distância radial rho.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no disco como sendo composto por muitos anéis finos e concêntricos. Cada anel tem um raio rho e uma espessura infinimamente pequena drho. A ideia é calcular o campo elétrico gerado por cada anel e depois somar todos esses campos para obter o campo total no ponto z = 20,cm.
Fórmula usada: O campo elétrico na direção z devido a um anel carregado é dado por:
dEz = 14pivarepsilon0 cdot dQ cdot z(z^2 + rho^2)^3/2
onde:
  • dQ é a carga no anel,
  • z é a distância acima do disco,
  • rho é o raio do anel,
  • varepsilon0 é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 3

Vamos expressar a carga dQ de um anel de raio rho e espessura drho. A densidade superficial de carga é rhoS = 12, rho, nC/cm²², então:
dQ = rhoS cdot Área do anel = 12, rho cdot 2pi rho drho = 24pi rho^2 drho, nC Á
Explicação: A área de um anel é 2pi rho drho, e multiplicamos pela densidade superficial de carga para obter a carga dQ.

Passo 4

Agora, substituímos dQ na expressão do campo elétrico:
dEz = 14pivarepsilon0 cdot 24pi rho^2 drho cdot z(z^2 + rho^2)^3/2
Podemos simplificar essa expressão:
dEz = 24pi z rho^2 drho4pivarepsilon0 (z^2 + rho^2)^3/2 = 6 z rho^2 drhovarepsilon0 (z^2 + rho^2)^3/2

Passo 5

Para encontrar o campo total Ez, integramos dEz de rho = 0 até rho = 5,0,cm:
Ez = integral0^5,0,cm 6 z rho^2varepsilon0 (z^2 + rho^2)^3/2 drho
Mudança de variável: Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja u = z^2 + rho^2, então du = 2rho drho.

Passo 6

Com a substituição u = z^2 + rho^2, quando rho = 0, u = z^2, e quando rho = 5,0,cm, u = z^2 + (5,0)^2.
Reescrevendo a integral:
Ez = 6 zvarepsilon0 cdot 12 integralz^2^z^2 + 25u^-3/2 du = 3 zvarepsilon0 [ -2 u^-1/2 ]z^2^z^2 + 25

Passo 7

Calculando os limites da integral:
Ez = 3 zvarepsilon0 [ -2 ( (z^2 + 25)^-1/2 - (z^2)^-1/2 ) ] = 6 zvarepsilon0 ( 1raizz^2 - 1raizz^2 + 25 )
Simplificando raizz^2 = z:
Ez = 6 zvarepsilon0 ( 1z - 1raizz^2 + 25 ) = 6varepsilon0 ( 1 - zraizz^2 + 25 )

Passo 8

Agora, substituímos os valores numéricos. Sabemos que:
  • z = 20,cm,
  • varepsilon0 = 8,85 times 10^-12,C²/Ncdotm²²² (constante de permissividade do vácuo).
Primeiro, calculamos raizz^2 + 25:
raiz(20)^2 + 25 = raiz400 + 25 = raiz425 approx 20,6155,cm
Substituindo na expressão de Ez:
Ez = 68,85 times 10^-12 ( 1 - 2020,6155 )
Calculando o termo dentro dos parênteses:
1 - 2020,6155 approx 1 - 0,9714 = 0,0286

Passo 9

Agora, multiplicamos os valores:
Ez = 68,85 times 10^-12 times 0,0286 approx 0,17168,85 times 10^-12 approx 1,94 times 10^10,N/C

Resposta

A intensidade do campo elétrico no ponto z = 20,cm acima do centro do disco é aproximadamente 1,94 times 10^10,N/C.

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