Considere um disco circular de raio no plano . Suponha que a densidade superficial de carga seja dada por , em que é uma distância radial dada em coordenadas cilíndricas. Calcule a intensidade do campo elétrico em acima do plano do disco, sobre seu eixo.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos aqui. Temos um disco circular com raio de no plano . A densidade superficial de carga é dada por ², onde é a distância radial no sistema de coordenadas cilíndricas. Nosso objetivo é calcular a intensidade do campo elétrico na posição acima do centro do disco, ao longo do eixo .
Matéria envolvida: Estamos lidando com eletrostática, especificamente com o cálculo do campo elétrico gerado por distribuições contínuas de carga com simetria cilíndrica.
O que vamos precisar: Vamos usar a fórmula para o campo elétrico gerado por um anel circular de carga e integrar isso para todo o disco. Além disso, vamos precisar entender como a densidade superficial de carga varia com a distância radial .

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no disco como sendo composto por muitos anéis finos e concêntricos. Cada anel tem um raio e uma espessura infinimamente pequena . A ideia é calcular o campo elétrico gerado por cada anel e depois somar todos esses campos para obter o campo total no ponto .
Fórmula usada: O campo elétrico na direção devido a um anel carregado é dado por:
onde:
  • é a carga no anel,
  • é a distância acima do disco,
  • é o raio do anel,
  • é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 3

Vamos expressar a carga de um anel de raio e espessura . A densidade superficial de carga é ², então:
Á
Explicação: A área de um anel é , e multiplicamos pela densidade superficial de carga para obter a carga .

Passo 4

Agora, substituímos na expressão do campo elétrico:
Podemos simplificar essa expressão:

Passo 5

Para encontrar o campo total , integramos de até :
Mudança de variável: Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então .

Passo 6

Com a substituição , quando , , e quando , .
Reescrevendo a integral:

Passo 7

Calculando os limites da integral:
Simplificando :

Passo 8

Agora, substituímos os valores numéricos. Sabemos que:
  • ,
  • ²² (constante de permissividade do vácuo).
Primeiro, calculamos :
Substituindo na expressão de :
Calculando o termo dentro dos parênteses:

Passo 9

Agora, multiplicamos os valores:

Resposta

A intensidade do campo elétrico no ponto acima do centro do disco é aproximadamente .

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Respostas: (a) (b)
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Resposta:
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