Considere um disco circular de raio
no plano
. Suponha que a densidade superficial de carga seja dada por
, em que
é uma distância radial dada em coordenadas cilíndricas. Calcule a intensidade do campo elétrico em
acima do plano do disco, sobre seu eixo.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que temos aqui. Temos um disco circular com raio de
no plano
. A densidade superficial de carga é dada por
, onde
é a distância radial no sistema de coordenadas cilíndricas. Nosso objetivo é calcular a intensidade do campo elétrico na posição
acima do centro do disco, ao longo do eixo
.
Matéria envolvida: Estamos lidando com eletrostática, especificamente com o cálculo do campo elétrico gerado por distribuições contínuas de carga com simetria cilíndrica.
O que vamos precisar: Vamos usar a fórmula para o campo elétrico gerado por um anel circular de carga e integrar isso para todo o disco. Além disso, vamos precisar entender como a densidade superficial de carga varia com a distância radial
.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no disco como sendo composto por muitos anéis finos e concêntricos. Cada anel tem um raio
e uma espessura infinimamente pequena
. A ideia é calcular o campo elétrico gerado por cada anel e depois somar todos esses campos para obter o campo total no ponto
.
Fórmula usada: O campo elétrico na direção
devido a um anel carregado é dado por:
onde:
-
é a carga no anel, -
é a distância acima do disco, -
é o raio do anel, -
é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 3
Vamos expressar a carga
de um anel de raio
e espessura
. A densidade superficial de carga é
, então:
Explicação: A área de um anel é
, e multiplicamos pela densidade superficial de carga para obter a carga
.
Passo 4
Agora, substituímos
na expressão do campo elétrico:
Podemos simplificar essa expressão:
Passo 5
Para encontrar o campo total
, integramos
de
até
:
Mudança de variável: Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
.
Passo 6
Com a substituição
, quando
,
, e quando
,
.
Reescrevendo a integral:
Passo 7
Calculando os limites da integral:
Simplificando
:
Passo 8
Agora, substituímos os valores numéricos. Sabemos que:
-
, -
(constante de permissividade do vácuo).
Primeiro, calculamos
:
Substituindo na expressão de
:
Calculando o termo dentro dos parênteses:
Passo 9
Agora, multiplicamos os valores:
Resposta
A intensidade do campo elétrico no ponto
acima do centro do disco é aproximadamente
.