Considere um disco circular de raio
no plano
. Suponha que a densidade superficial de carga seja dada por
, em que
é uma distância radial dada em coordenadas cilíndricas. Calcule a intensidade do campo elétrico em
acima do plano do disco, sobre seu eixo.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que temos aqui. Temos um disco circular com raio de
no plano
. A densidade superficial de carga é dada por
, onde
é a distância radial no sistema de coordenadas cilíndricas. Nosso objetivo é calcular a intensidade do campo elétrico na posição
acima do centro do disco, ao longo do eixo
.
Matéria envolvida: Estamos lidando com eletrostática, especificamente com o cálculo do campo elétrico gerado por distribuições contínuas de carga com simetria cilíndrica.
O que vamos precisar: Vamos usar a fórmula para o campo elétrico gerado por um anel circular de carga e integrar isso para todo o disco. Além disso, vamos precisar entender como a densidade superficial de carga varia com a distância radial
.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no disco como sendo composto por muitos anéis finos e concêntricos. Cada anel tem um raio
e uma espessura infinimamente pequena
. A ideia é calcular o campo elétrico gerado por cada anel e depois somar todos esses campos para obter o campo total no ponto
.
Fórmula usada: O campo elétrico na direção
devido a um anel carregado é dado por:
onde:
-
é a carga no anel, -
é a distância acima do disco, -
é o raio do anel, -
é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 3
Vamos expressar a carga
de um anel de raio
e espessura
. A densidade superficial de carga é
, então:
Explicação: A área de um anel é
, e multiplicamos pela densidade superficial de carga para obter a carga
.
Passo 4
Agora, substituímos
na expressão do campo elétrico:
Podemos simplificar essa expressão:
Passo 5
Para encontrar o campo total
, integramos
de
até
:
Mudança de variável: Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
.
Passo 6
Com a substituição
, quando
,
, e quando
,
.
Reescrevendo a integral:
Passo 7
Calculando os limites da integral:
Simplificando
:
Passo 8
Agora, substituímos os valores numéricos. Sabemos que:
-
, -
(constante de permissividade do vácuo).
Primeiro, calculamos
:
Substituindo na expressão de
:
Calculando o termo dentro dos parênteses:
Passo 9
Agora, multiplicamos os valores:
Resposta
A intensidade do campo elétrico no ponto
acima do centro do disco é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Um fio retilíneo de comprimento
, ao longo do eixo horizontal, está uniformemente carregado com densidade linear de carga
. (a) Calcule o vetor campo elétrico num ponto situado sobre o prolongamento do fio, a uma distância
de sua extremidade. (b) Calcule a intensidade do campo elétrico se
e a carga total do fio é de
.
Respostas: (a) (b)
Respostas: (a)
Uma faixa infinita muito fina de largura
apresenta uma densidade superficial de carga
. Calcule a intensidade do campo elétrico num ponto
situado no plano da faixa, sabendo que a distância do lado mais próximo ao ponto
é
.
Resposta:
Resposta:
Dois planos paralelos estão uniformemente carregados tal que a distância entre eles é muito menor que o tamanho de cada placa. Os planos superior e inferior possuem densidades superficial de carga
e
, respectivamente. Calcule o vetor campo elétrico em pontos acima, abaixo e entre os planos. Considere pontos próximos dos planos. Represente as linhas de campo elétrico nas três regiões.
Resposta: zero acima e abaixo de ambos; entre os dois, considerando o eixo
perpendicular aos planos.
Resposta: zero acima e abaixo de ambos;
Um feixe de luz violeta (
) incide perpendicularmente numa placa de vidro de 2 cm de espessura e índice de refração
.
Calcular o tempo que o feixe de luz demora para atravessar a placa de vidro.
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