Uma faixa infinita muito fina de largura
apresenta uma densidade superficial de carga
. Calcule a intensidade do campo elétrico num ponto
situado no plano da faixa, sabendo que a distância do lado mais próximo ao ponto
é
.
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Vamos resolver um exercício de eletrostática onde temos uma faixa infinita, muito fina, com largura
e densidade superficial de carga
. Queremos calcular a intensidade do campo elétrico
em um ponto
localizado no plano da faixa, sabendo que a distância do lado mais próximo ao ponto
é
. Para isso, vamos utilizar conceitos de campos elétricos gerados por distribuições lineares de carga e integrar para encontrar a expressão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma densidade superficial de carga
. Ela representa a carga por unidade de área na faixa. Como a faixa é muito fina, podemos considerá-la como uma distribuição linear de carga ao longo do seu comprimento infinito.
Passo 3
Sabemos que o campo elétrico criado por uma linha infinita de carga com densidade linear
é dado por:
onde
é a distância do ponto onde queremos calcular o campo até a linha de carga.
Passo 4
No nosso caso, a faixa tem uma largura finita
, o que significa que a densidade linear de carga
varia ao longo da largura. Podemos relacionar a densidade superficial
com a densidade linear
pela relação:
Isso porque
é a carga por unidade de área e multiplicando pela largura
, obtemos a carga por unidade de comprimento.
Passo 5
Para encontrar o campo elétrico no ponto
, precisamos integrar os campos elétricos gerados por cada elemento de carga ao longo da largura
da faixa. Vamos considerar um pequeno elemento de carga
, onde
é um elemento infinitesimal ao longo da largura.
Passo 6
O campo elétrico devido a esse elemento de carga no ponto
é:
onde
é a distância do elemento de carga ao ponto
.
Passo 7
Como o ponto
está a uma distância
do lado mais próximo da faixa, a distância
em termos de
será:
onde
varia de
a
.
Passo 8
Agora, integramos
de
até
para obter o campo total
:
Passo 9
A integral de
em relação a
é o logaritmo natural, então:
Passo 10
Aplicando propriedades dos logaritmos, temos:
Resposta
A intensidade do campo elétrico no ponto
é: