Uma faixa infinita muito fina de largura b apresenta uma densidade superficial de carga sigma. Calcule a intensidade do campo elétrico num ponto P situado no plano da faixa, sabendo que a distância do lado mais próximo ao ponto P é c.
Resposta: E=(sigma2 pi epsilon0) ln (1+bc)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de eletrostática onde temos uma faixa infinita, muito fina, com largura e densidade superficial de carga . Queremos calcular a intensidade do campo elétrico em um ponto localizado no plano da faixa, sabendo que a distância do lado mais próximo ao ponto é . Para isso, vamos utilizar conceitos de campos elétricos gerados por distribuições lineares de carga e integrar para encontrar a expressão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma densidade superficial de carga . Ela representa a carga por unidade de área na faixa. Como a faixa é muito fina, podemos considerá-la como uma distribuição linear de carga ao longo do seu comprimento infinito.

Passo 3

Sabemos que o campo elétrico criado por uma linha infinita de carga com densidade linear E = lambda2piepsilon0 r é dado por:
onde é a distância do ponto onde queremos calcular o campo até a linha de carga.

Passo 4

No nosso caso, a faixa tem uma largura finita lambda = sigma cdot b , o que significa que a densidade linear de carga varia ao longo da largura. Podemos relacionar a densidade superficial com a densidade linear pela relação:
Isso porque é a carga por unidade de área e multiplicando pela largura , obtemos a carga por unidade de comprimento.

Passo 5

Para encontrar o campo elétrico no ponto , precisamos integrar os campos elétricos gerados por cada elemento de carga ao longo da largura da faixa. Vamos considerar um pequeno elemento de carga , onde é um elemento infinitesimal ao longo da largura.

Passo 6

O campo elétrico devido a esse elemento de carga no ponto dE = dq2piepsilon0 r = sigma , dx2piepsilon0 r é:
onde é a distância do elemento de carga ao ponto .

Passo 7

Como o ponto r = c + x está a uma distância do lado mais próximo da faixa, a distância em termos de será:
onde varia de a .

Passo 8

Agora, integramos E = integral0^b sigma2piepsilon0 (c + x) , dx de até para obter o campo total :

Passo 9

A integral de E = sigma2piepsilon0 [ ln(c + x) ]0^b = sigma2piepsilon0 ( ln(c + b) - ln(c) ) em relação a é o logaritmo natural, então:

Passo 10

Aplicando propriedades dos logaritmos, temos:
E = sigma2piepsilon0 ln( c + bc ) = sigma2piepsilon0 ln(1 + bc)

Resposta

A intensidade do campo elétrico no ponto E = (sigma2 pi epsilon0) ln (1+bc) é:

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