Um fio retilíneo de comprimento l, ao longo do eixo horizontal, está uniformemente carregado com densidade linear de carga lambda. (a) Calcule o vetor campo elétrico num ponto situado sobre o prolongamento do fio, a uma distância d de sua extremidade. (b) Calcule a intensidade do campo elétrico se l=d=5,0 cm e a carga total do fio é de 3,0 mu C.
Respostas: (a) E=lambda l4 pi epsilon0 d(l+d) i (b) E=5,4 times 10^6 N / C

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática! A questão fala sobre um fio retilíneo carregado uniformemente e pede para calcular o campo elétrico em dois cenários. Para isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição contínua de carga. Vamos usar conceitos de cálculo, como integrais, para somar as contribuições de cada parte do fio ao campo total.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é densidade linear de carga, que é a quantidade de carga por unidade de comprimento do fio, representada por . O fio tem comprimento e estamos considerando um ponto a uma distância da sua extremidade, alinhado ao longo do prolongamento do fio.
Para calcular o campo elétrico no ponto desejado, precisamos somar o campo elétrico gerado por cada pedacinho do fio. Isso é feito usando uma integral, já que a carga está distribuída ao longo do fio.

Passo 3

A fórmula do campo elétrico devido a um elemento de carga dE = 14piepsilon0 dqr^2 r a uma distância é dada por:
Onde:
  • é a constante de permissividade do vácuo,
  • é o vetor unitário na direção de .
No nosso caso, a distância varia ao longo do fio, então precisamos expressar em termos de uma variável de integração.

Passo 4

Vamos parametrizar o fio ao longo do eixo x, de dE = 14piepsilon0 lambda dx(l + d - x)^2 até . O ponto onde queremos calcular o campo está a uma distância além do final do fio, ou seja, em .
A distância de um ponto no fio até o ponto de interesse é . Portanto, a contribuição de cada elemento de carga ao campo elétrico é:
Como todos os vetores campo elétrico estarão na direção positiva do eixo x, podemos somar as magnitudes diretamente.

Passo 5

Integrando de E = lambda4piepsilon0 integral0^l dx(l + d - x)^2 a E = lambda4piepsilon0 integrald^l + d duu^2 = lambda4piepsilon0 [ -1u ]d^l + d , temos:
E = lambda4piepsilon0 ( 1d - 1l + d ) = lambda l4piepsilon0 d(l + d)
Fazendo uma mudança de variável , , os limites de integração mudam para quando e quando . A integral fica:

Passo 6

Pronto, chegamos à expressão do campo elétrico no ponto solicitado! Agora, vamos para a parte (b) que pede para calcular a intensidade desse campo quando lambda = Ql = 3,0 times 10^-6, C0,05, m = 6,0 times 10^-5, C/m e a carga total do fio é E = 6,0 times 10^-5, C/m times 0,05, m4pi times 8,85 times 10^-12, F/m times 0,05, m times (0,05, m + 0,05, m) .
Primeiro, sabemos que a carga total E = 3,0 times 10^-6, C4pi times 8,85 times 10^-12, F/m times 0,05, m times 0,10, m approx 5,4 times 10^6, N/C está relacionada à densidade linear de carga pela relação . Então, podemos encontrar :
Substituindo , e na expressão do campo elétrico:
Calculando os valores:

Resposta

(a)
(b)

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