Um fio retilíneo de comprimento , ao longo do eixo horizontal, está uniformemente carregado com densidade linear de carga . (a) Calcule o vetor campo elétrico num ponto situado sobre o prolongamento do fio, a uma distância de sua extremidade. (b) Calcule a intensidade do campo elétrico se e a carga total do fio é de .
Respostas: (a) (b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática! A questão fala sobre um fio retilíneo carregado uniformemente e pede para calcular o campo elétrico em dois cenários. Para isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição contínua de carga. Vamos usar conceitos de cálculo, como integrais, para somar as contribuições de cada parte do fio ao campo total.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é densidade linear de carga, que é a quantidade de carga por unidade de comprimento do fio, representada por . O fio tem comprimento e estamos considerando um ponto a uma distância da sua extremidade, alinhado ao longo do prolongamento do fio.
Para calcular o campo elétrico no ponto desejado, precisamos somar o campo elétrico gerado por cada pedacinho do fio. Isso é feito usando uma integral, já que a carga está distribuída ao longo do fio.

Passo 3

A fórmula do campo elétrico devido a um elemento de carga a uma distância é dada por:
Onde:
  • é a constante de permissividade do vácuo,
  • é o vetor unitário na direção de .
No nosso caso, a distância varia ao longo do fio, então precisamos expressar em termos de uma variável de integração.

Passo 4

Vamos parametrizar o fio ao longo do eixo x, de até . O ponto onde queremos calcular o campo está a uma distância além do final do fio, ou seja, em .
A distância de um ponto no fio até o ponto de interesse é . Portanto, a contribuição de cada elemento de carga ao campo elétrico é:
Como todos os vetores campo elétrico estarão na direção positiva do eixo x, podemos somar as magnitudes diretamente.

Passo 5

Integrando de a , temos:
Fazendo uma mudança de variável , , os limites de integração mudam para quando e quando . A integral fica:

Passo 6

Pronto, chegamos à expressão do campo elétrico no ponto solicitado! Agora, vamos para a parte (b) que pede para calcular a intensidade desse campo quando e a carga total do fio é .
Primeiro, sabemos que a carga total está relacionada à densidade linear de carga pela relação . Então, podemos encontrar :
Substituindo , e na expressão do campo elétrico:
Calculando os valores:

Resposta

(a)
(b)

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Uma faixa infinita muito fina de largura apresenta uma densidade superficial de carga . Calcule a intensidade do campo elétrico num ponto situado no plano da faixa, sabendo que a distância do lado mais próximo ao ponto é .
Resposta:
Oito cargas puntiformes, cada uma com carga (dada em coulomb), estão colocadas nos vértices de um cubo cujos lados têm o comprimento de 10 cm . Calcule a intensidade do campo elétrico no (a) centro e (b) no centro de uma das faces do cubo.
Respostas: (a) (b)
Considere um disco circular de raio no plano . Suponha que a densidade superficial de carga seja dada por , em que é uma distância radial dada em coordenadas cilíndricas. Calcule a intensidade do campo elétrico em acima do plano do disco, sobre seu eixo.
Dois planos paralelos estão uniformemente carregados tal que a distância entre eles é muito menor que o tamanho de cada placa. Os planos superior e inferior possuem densidades superficial de carga e , respectivamente. Calcule o vetor campo elétrico em pontos acima, abaixo e entre os planos. Considere pontos próximos dos planos. Represente as linhas de campo elétrico nas três regiões.
Resposta: zero acima e abaixo de ambos; entre os dois, considerando o eixo perpendicular aos planos.