Um fio retilíneo de comprimento
, ao longo do eixo horizontal, está uniformemente carregado com densidade linear de carga
. (a) Calcule o vetor campo elétrico num ponto situado sobre o prolongamento do fio, a uma distância
de sua extremidade. (b) Calcule a intensidade do campo elétrico se
e a carga total do fio é de
.
Respostas: (a)
(b)
Respostas: (a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática! A questão fala sobre um fio retilíneo carregado uniformemente e pede para calcular o campo elétrico em dois cenários. Para isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição contínua de carga. Vamos usar conceitos de cálculo, como integrais, para somar as contribuições de cada parte do fio ao campo total.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é densidade linear de carga, que é a quantidade de carga por unidade de comprimento do fio, representada por
. O fio tem comprimento
e estamos considerando um ponto a uma distância
da sua extremidade, alinhado ao longo do prolongamento do fio.
Para calcular o campo elétrico no ponto desejado, precisamos somar o campo elétrico gerado por cada pedacinho do fio. Isso é feito usando uma integral, já que a carga está distribuída ao longo do fio.
Passo 3
A fórmula do campo elétrico devido a um elemento de carga
a uma distância
é dada por:
Onde:
-
é a constante de permissividade do vácuo, -
é o vetor unitário na direção de .
No nosso caso, a distância
varia ao longo do fio, então precisamos expressar
em termos de uma variável de integração.
Passo 4
Vamos parametrizar o fio ao longo do eixo x, de
até
. O ponto onde queremos calcular o campo está a uma distância
além do final do fio, ou seja, em
.
A distância de um ponto
no fio até o ponto de interesse é
. Portanto, a contribuição de cada elemento de carga
ao campo elétrico é:
Como todos os vetores campo elétrico estarão na direção positiva do eixo x, podemos somar as magnitudes diretamente.
Passo 5
Integrando de
a
, temos:
Fazendo uma mudança de variável
,
, os limites de integração mudam para
quando
e
quando
. A integral fica:
Passo 6
Pronto, chegamos à expressão do campo elétrico no ponto solicitado! Agora, vamos para a parte (b) que pede para calcular a intensidade desse campo quando
e a carga total do fio é
.
Primeiro, sabemos que a carga total
está relacionada à densidade linear de carga pela relação
. Então, podemos encontrar
:
Substituindo
,
e
na expressão do campo elétrico:
Calculando os valores:
Resposta
(a)
(b)