Considere um disco delgado de raio
, uniformemente carregado com uma densidade superficial de carga positiva
.
Utilizando a Lei de Gauss, calcule o campo elétrico no mesmo ponto
e compare a resposta obtida com aquelas dos itens (b) e ©; Quais são as conclusões obtidas ao comparar as soluções?
Utilizando a Lei de Gauss, calcule o campo elétrico no mesmo ponto
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco fininho com raio
, carregado de forma uniforme com uma densidade superficial de carga positiva
. A pergunta quer que a gente use a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico em um ponto específico
no disco e depois comparar essa resposta com as soluções dos itens (b) e ©. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre a Lei de Gauss, como aplicar essa lei em situações de simetria, e como calcular o campo elétrico de uma distribuição de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo (
). Matematicamente, é expressa como:
Essa lei é muito útil quando a distribuição de carga tem uma certa simetria, como simetria esférica, cilíndrica ou planar.
Passo 3
No nosso caso, temos um disco com simetria circular. Isso sugere que podemos escolher uma superfície gaussiana que aproveite essa simetria para facilitar os cálculos. Vamos imaginar uma “superfície gaussiana” na forma de um cilindro coaxial com o disco. A parte plana do cilindro ficará no ponto
, e a outra parte plana ficará oposta a ela.
Passo 4
Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana. Devido à simetria, o campo elétrico
será perpendicular à superfície do disco e terá o mesmo valor em todos os pontos da superfície curva do cilindro. Assim, o fluxo através das laterais do cilindro será zero, já que o campo é paralelo a essas superfícies. Portanto, o fluxo total será apenas através das duas bases do cilindro.
Passo 5
Vamos chamar o campo elétrico no ponto
de
. O fluxo elétrico total será então:
onde
é a área de uma das bases do cilindro. Pelo Gauss, isso é igual a
. A carga interna
é a carga do disco dentro da área
:
Passo 6
Substituindo na equação do fluxo:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Então, isolando
:
Resposta
O campo elétrico no ponto
é
. Ao comparar com as soluções dos itens (b) e ©, podemos concluir que o uso da Lei de Gauss simplificou o cálculo ao aproveitar a simetria do problema, confirmando os resultados obtidos anteriormente.
Exercícios relacionados
Considere um disco delgado de raio
, uniformemente carregado com uma densidade superficial de carga positiva
.
Utilizando o Princípio da Superposição, mostre que o campo elétrico produzido pelo disco num ponto situado sobre o eixo de simetria do disco, que fica disposto ao longo do eixo
, numa distância
de sua superfície é dado por:
Utilizando o Princípio da Superposição, mostre que o campo elétrico produzido pelo disco num ponto
Em um circuito
, suponha,
e
.
Determine também;
g) o ângulo de fase correspondente
Determine também;
g) o ângulo de fase correspondente
Considere um disco delgado de raio
, uniformemente carregado com uma densidade superficial de carga positiva
.
Analise a resposta obtida em (a) para ;
Analise a resposta obtida em (a) para
Considere um disco delgado de raio
, uniformemente carregado com uma densidade superficial de carga positiva
.
Analise a resposta obtida em (a) para ;
Analise a resposta obtida em (a) para